2023届高考数学重难点专题训练专题16数列求和-裂项相消

专题16数列求和—裂项相消等差数列前项和为，且，．

求数列的通项公式；

设数列的前项和为，若，求的最小值．设数列的前项和为，己知，是公差为的等差数列．

求的通项公式；

设，求数列前项和．3.已知数列为公差不为的等差数列，且，，，成等比数列．Ⅰ求数列的通项公式Ⅱ设为数列的前项和，令，求数列的前项和．4.已如各项均为正数的数列的前项和为，且，，，且

求数列的通项公式；

证明：当时，．5.设为数列的前项和，已知．求的通项公式令，求数列的前项和．6.在数列中，，求数列的通项公式；求满足不等式成立的的最大值．7.已知正项数列的前项和为．求的通项公式；若数列满足：，求数列的前项和．8.已知在数列，中，，．

Ⅰ设数列的前项和为，若，求和：；

Ⅱ若数列为等差数列，且公差，求证：

答案和解析1.【答案】解：设等差数列的公差为，首项为，

则，解得，

所以数列的通项公式为．

，

，

由题得，

解得，

因为，所以的最小值是．

【解析】本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和的问题，属于基础题．

根据题给的等式求解出数列的首项和公差，再写出通项公式即可；

根据数列的通项公式求解数列的通项公式，进而求解其前项和，最后根据不等式的知识求解的最小值．

2.【答案】解：依题意，，

由于是公差为的等差数列，

则，即．

当时，，

而满足上式，

则数列的通项公式是．

由知，，

，

数列的前项和．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，数列的前项和，裂项相消法求和，属于中档题．

利用等差数列通项公式求出，再利用前项和求数列的通项；

由求出，再利用裂项相消法求解．

3.【答案】解：设数列的公差为，则，由题意可得：解得：数列的通项公式为；由，，设数列的前项和为，所以数列的前项和

【解析】本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式，等比数列的性质，考查数列的求和及裂项相消法，考查分析与计算能力，属于中档题．

结合等比数列的性质，利用等差数列通项公式将条件转化为，公差的方程，解方程求出，由此可得数列的通项公式；

由可得，结合裂项相消法可求数列的前项和．

4.【答案】解：由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，

当时，，也满足上式，所以；

证明：当时，，

所以．

【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，放缩法的应用，考查计算能力，属于中档题．

由，说明数列是以为首项，以为公差的等差数列，然后求解，推出；

当时，化简，结合放缩法，转化求解数列的和，推出结果．

5.【答案】解：当时，，

，

．

当，

得：

．

，

，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

；

，

．

【解析】本题考查数列通项公式以及前项和的求法，考查了裂项相消法的应用，属于中档题．

首先取，求出首项，然后利用，判断出数列为等差数列，求得通项公式；

由得到数列的通项公式，利用裂项相消求和得到所求．

6.【答案】解：由条件得，

所以数列是以为首项，公差的等差数列．

故，

即

由知，

故

，

所以，解得，

结合得，的最大值是．

【解析】本题考查数列的通项公式及裂项相消求和，属于中档题．

由条件得，即可得数列是以为首项，公差的等差数列，从而可求得数列的通项公式；

由知，求和可得，求解即可得的最大值．

7.【答案】解：由题知：，

，

两式相减得：，

所以，

所以，

由正项数列，

得，

又因为，所以，

因为，解得：，

所以适合式，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以．

由得：，

所以，

得：，所以，

又由式得，适合上式，

所以，

所以，

所以

．

【解析】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的判定及通项公式，以及裂项相消求和法的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由数列的递推关系，可得是以为首项，为公差的等差数列，由此可得的通项公式；

由题意，可推导出，从而可得，由此利用裂项相消求和可得答案．

8.【答案】解：Ⅰ当时，，又，

两式相减可得，

化为，

可得是首项为，公比为的等比数列，

则，，

则；

Ⅱ证明：若数列为等差数列，且公差，，

可得，

则

，

因为，，

所以，，

则

【解析】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查