2023届高考数学二轮复习专项突破08分段函数

分段函数专项突破高考定位分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值等问题，是每年高考的重点。既可以整体把握，也可以分类讨论.整体把握做好的办法是做图，而分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。考点解析一、分段函数的分类（1）初等函数组合型（2）含绝对值型（3）周期性分段（4）对成型分段（5）新定义型二、处理办法（1）讨论（2）图像题型分类类型一、初等函数组合分段函数例1-1（不含参数）函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))为（）A．奇函数 B．偶函数C．即是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【解析】法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．法二：图象法，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．例1-2（含参数）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.【详解】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，①当时，函数的图像为：由图知，存在实数b，使函数有两个零点；②当时，函数的图像为：由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；③当时，函数的图像为：或由图知，存在实数b，使函数有两个零点；综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为练（2021·北京市第十二中学高三月考）已知，函数，函数恰有2个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于恰有个零点，结合图象可知，时，有两个零点.故选：B例1-3（含参数）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.【详解】当时，，得，，不能满足都有解；当时，，得或，如图，当或时，只需满足或，满足条件.所以，时，满足条件.例1-4（含参数）（多选题）（2021·辽宁实验中学高三）已知函数(即，)则（）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解【答案】ABD【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.例1-5（含参数）（2021·重庆市永川北山中学校）设若，则________．【答案】【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果.【详解】若，则，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，该方程无解.综上可知，，。例1-6（含参数）已知函数f(x)=ex-1,x>0-x2-A．0,14B．13,3C．(1,2)D【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数f(x)=ex-1,x>0-x2-2x+1,x≤0的图象如图所示，令fx=类型二、含绝对值的分段函数例2-1．（多选题）（2021·福建高三二模）若函数，则（）A．是周期函数 B．在上有4个零点C．在上是增函数 D．的最小值为【答案】BC【分析】直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】函数，对于A：函数不是周期函数，故A错误；对于B，令，在，上，求得，，，，故B正确；对于C：当时，，所以，由于，所以且，故，故函数在上单调递增，故C正确；对于D：由于，当时，，故D错误．例2-2.（多选题）（2021·广东高三专题练习）已知函数，以下结论正确的是（）A．是偶函数B．最小值为2C．在区间上单调递减D．的周期为2【答案】AB【分析】先判断的奇偶性及周期，从而判断A,D;所以只须研究在的性质，即，然后分别求导数可得单调性以及最值.【详解】∵，，∴是偶函数，A正确；因为，所以函数的周期为，D错误；由函数的奇偶性与周期性，只须研究在上的性质.，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时，故当时，，B正确.因为在上单调递减，又是偶函数，故在上单调递增，故C错误.例2-3．已知f(x),g(x)都是定义域为R的连续函数．已知：g(x)满足：①当x>0时，g'(x)>0恒成立；②∀x∈R都有g(x)=g(-x)．f(x【答案】(-【解析】【分析】根据条件可得函数g（x）的奇偶性和单调性，利用条件可得函数f（x）的周期性，将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论．【详解】∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈[-32-23,32-23]恒成立⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+3）=f（x﹣3），得f（x+23）=f（x），即函数f（f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，即函数f（x）在R上的最大值为2，∵x∈[-32-23,32-23]，函数的周期是23，∴当x∈[-32-23,32-23]时，函数练．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（）A．-1 B． C． D．【答案】ABC【详解】因为函数，当时，单调递减，当时，单调递减，又，所以在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，，因为不等式对任意的恒成立，而，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故对任意的恒成立，令，所以，解得，所以可以为-1，，.故选：ABC.类型三、周期类分段函数例3-1（多选题）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.【详解】根据题意，作出的图像如下所示：令，得，所以要使函数有且只有两个不同的零点，所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，根据图形可得实数的取值范围为，【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．例3-2．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【解析】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示.在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.类型四、对称分段例4-1．已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．【答案】或【解析】解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，函数有2个零点则函数与函数有2个交点，当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；当斜率不为零，即时，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：，解得则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数a的取值范围是．综上，答案为：或．类型五、新定义分段函数例5-1定义maxa,b为a,b中的最大值，函数fx=maxlog2x+1,2-【答案】0,1【解析】【分析】根据题意，将函数fx写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得c的值，进而可得gx=2m-1x+【详解】根据题意，fx=maxlo