理论力学 第7章质点动力学习题解答

#据题意，mA=mB，初瞬时“120。，杆AB所受的力为FAB7-7质量为m的小球以水平速度卩0射入静水之中。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，且与速度的大小成正比，即F=-円，卩为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。解：取小球为研究对象，列出动力学方程mr=F+mg，投影式为mx=x，my=y+mg初始条件：x=y=0，X=v,y=0.t=0t=0t=00t=0解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为mvx=——01一emgm2g，y=t一卩卩27-8滑块M的质量为m,在半径为R的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑块M上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O固定于A。已知当滑块在点O时，绳的张力为零。弹性绳每伸长1(cm)需力c(N)。开始时滑块在圆环的顶端点B,处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下，申为绳的OM部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块M的下滑速度v与申角的关系以及圆环的约束力。解：取滑块M为研究对象，受力图如图示的动力学方程，ma=—Fcoe—mgsii2e，tTv2m=一F+FsiiP—mgco2eRNT式中，a=2R©，F=2cRsinp.初始条件为tTp=，p=0.t=02t=0列出切线和法线方向a)(b)、、.dcp解此初值问题.关系利用e=e」，积分式(a)d申卜2mR(pdtp=卜(cR+mg)sii2ede，0冗2.丄i11(cR__e=±cosei———+g，\|RIm丿得滑块m的下滑速度v与e角的关系v=2R(p=2cosp11(cR)|R—+gJ5丿，(与T方向相反).从（b）式解得圆环的约束力、o2sp-mgco2sp.F—2cRsinpo2sp-mgco2sp.N7-9作用有简谐激振力F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m=350kg，弹簧的刚度为k=20kN/m，简谐激振力振幅的大小H=100N，激振频率f=2.5Hz,阻尼元件的阻尼系数c=1600N・s/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。11o解：选取平衡位置为坐标原点，x轴垂直向下，i11o弹性恢复力F=-kxi,k粘性阻尼力F=-cxi,c简谐激振力F=Hsinwti质点运动微分方程的为mx+cx+2kx=Hsinwt化作标准形式x+2nx+w2化作标准形式x+2nx+w2x=hsinwtkHw2—，h—，w=2兀f，nmm其中n=£2m振幅为b「V受迫振动相位滞后激振力相位角9的正切为2nwta9=—

w2-w2n12—w2丸+4n2W2n代入数据，得b—1.90mm,9——0.50rad.受迫振动的方程为x—1.90sin(15.71t-0.50)mm习题7-9题7-11题7-117-10质量为m的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为九求质点在平衡位置附°近作竖向微振动的运动微分方程。徳解：以质量为m的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为F—-，受力图如图示，运动微分方程为x质点受力图九mx—一一mg.x7-11在图示振动系统中，已知：重物A的质量m=1kg，两串联弹簧的刚度系数分别为k1=12N/cm,k2=4N/cm，0=30。，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A无初速地释放，同时B端以g=1.5sin（10t）cm沿斜面运动。试求重物A的运动方程。解：取重物A为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数k满足

111=+kkk12解得k=3N/cm,FFmge建立与B固结的动坐标系B-x'y'，坐标原点选在A的相对经平衡位置。牵连惯性力为F=-mi=0.15msin（10t）N，e列出相对运动动力学方程mX=mgsin30。+0.15msin(10t)-k6+x'),st"X'=0.15sin^0t)-300',通解为()()x'=Asin(0^'31)+Bcos(0p31)+7.5x10-4sinGot)根据初始条件：x'=0,x'|t=01A8x1滑块受力图m|=0，解得重物A的相对运t=0动方程x'=0.43sin(17.3A8x1滑块受力图m|=0，解得重物A的相对运t=0动方程7-12倾角为0的楔块A的质量为mA，静止地置于光滑的水平面上，物块B的质量为mB，放在楔块A的光滑斜面上，B如图所示。当无初速地释放物块B后，求楔块A与物块B之间相互作用力的大小。解：1）取楔块A为研究对象，列出水平方向的动力学方程ma=F'si®AeN2）取物块B为研究对象，物块B作合成运动，以楔块A为动系。列出动力学方程)m(aco8—a)=Fsii9，BreNmasin8=mg-Fco8s，BrBN联立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2m+联立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2AB楔块A与物块B之间相互作用力的大小为mmgco8sF=AB.Nm+msin28AB7-13质量为m的小环M套在弯成y=fx）形状的光滑金属丝上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴Oy以等角速度①转动，如图所示。如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态，试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。解：以小环M为对象，光滑金属丝为动系，设j为沿动系坐标轴的单位向量，则

相对速度：V=x+yj，牵连加速度：a二—xw2i,re因相对平衡时v=0，所以科氏加速度a=0.,rc牵连惯性力：F=—ma，科氏惯性力：F=0.eec列出相对平衡方程F—mgj+F=0,eN向切线，即速度方向投影，F—mgj+F)•v=0,eNr导出gy-w2xx二o,积分上式得金属丝的形状为1y=—w2x22从而F=—F+mgj=mw2xi+mgj,Ne平衡时金属丝对小环的作用力大小为F=me2x仏+g2.N7-14质量为2x106kg的列车以54km/h的速度由南向北行驶。试求列车行驶到北纬40。时，列车对铁轨的侧压力。解：列车对铁轨的侧压力等于科氏惯性力.以列车为研究对象，地球为动参考系，建立图示动坐标系m—x'y'z，沿动系坐标轴的单位基矢量为i,j,k，则列车相对速度和地球转动的