逻辑学 词项逻辑

・・#•上述SAP、SEP、SIP、SOP之间的四种真假关系，可以用一个称作“逻辑方阵”的图形来表示：这个逻辑方阵不包括单称肯定命题形式“s是P”和单称否定命题形式“s不是P”之间的关系。在对当关系上，单称命题不能当作全称命题处理，这与周延问题不同。在讨论直言命题的对当关系时须注意，对当关系与周延性一样，只与命题形式有关，而与命题内容无关。即使从具体命题入手，讨论它们之间的关系，也仍然指的是它们在逻辑形式上的真假值关系。由于命题形式中相同的变项表示相同的内容，只有主、谓项分别相同的两个直言命题之间才存在对当关系。掌握直言命题的对当关系，对于正确地表达思想是十分重要的。我们知道，具有矛盾关系或反对关系的两个命题形式，其值是不能同真的，因此，我们在语言表达中，对于形式上具有矛盾关系或反对关系的命题就不能同时肯定。我们还知道，具有矛盾关系或下反对关系的两个命题形式，其值是不能同假的，因此，我们在语言表达中，对于形式上具有下反对关系的命题就不能同时否定。另外，具有差等关系的两个命题形式，其值不能上位真而下位假，因此，我们在语言表达中，对于形式上具有差等关系的命题，就不能在肯定上位一方的同时又否定下位一方。利用对当关系中的矛盾关系和反对关系，还能有效地进行反驳。在形式上具有矛盾关系或反对关系的两个命题是不可能同真的。如果我们已知其中一个为真，就可以确定另一个为假。例（反驳）：（1）所有细菌都是对人体有害的（2）有些鸟不是有羽毛的（3）所有铅笔芯都是用铅做的二、关系命题（一）什么是关系命题关系命题是断定事物之间关系的命题。关系命题由主项、谓项和量项（有的无量项）组成。关系命题的主项是关系命题中表示被断定的事物的概念。关系命题的谓项是关系命题中表示事物之间关系的概念。关系命题的量项是关系命题中表示事物的数量范围的概念。与直言命题一样，关系命题的量项也包括全称量项和特称量项两种。主项都是单独概念的关系命题没有量项。（二）关系命题的种类及形式关系命题按其主项的个数，可分为二项关系命题、三项关系命题、四项关系命题等等。二项关系命题是具有两个主项的关系命题。它所断定的关系存在于两个事物之间，这种关系称为二项关系。三项关系命题是具有三个主项的关系命题。它所断定的关系存在于三个事物之间，这种关系称为三项关系。四项关系命题及四项关系等等依此类推。一般地说，具有N个主项（n$2）的关系命题称为n项关系命题，其断定的关系称为n项关系。关系命题的主项，可根据其出现的先后次序，分别称为第一主项、第二主项、第三主项等。主项均为单独概念的二项关系命题，其形式可表示为：aRb。这种形式也可表示为：Rab。主项均为单独概念的三项关系命题，其形式可表示为：Rabe。主项均为单独概念的n项关系命题，其形式可表示为：Raxa2aN。主项中有普遍概念的关系命题较复杂，在表示其形式时，必须把量项表示出来。以下我们仅讨论二项关系命题和二项关系。（三）关系的逻辑性质关系的逻辑性质可以从对称性和传递性两个角度来考察。所谓对称性是指，当事物a对事物b有R关系时，事物b对事物a是否也具有R关系。从对称性的角度，可将关系分为三种：1．对称关系如果当a对b有R关系时，b对a也必定具有R关系，我们就称R是对称关系。换句话说，如果当aRb真时，bRa必真，则R为对称关系。2．反对称关系如果当a对b有R关系时，b对a必定不具有R关系，我们就称R是反对称关系。换句话说，如果当aRb真时，bRa必假，则R为反对称关系。3．非对称关系如果当a对b有R关系时，b对a可能具有R关系，也可能不具有R关系，我们就称R是非对称关系。换句话说，如果当aRb真时，bRa可能真，也可能假，则R为非对称关系。所谓传递性是指，当事物a对事物b有R关系，并且事物b对事物c有R关系时，事物a对事物c是否也具有R关系。从传递性的角度，也可将关系分为三种：1．传递关系如果当a对b有R关系，并且b对c也有R关系时,a对c必定具有R关系，我们就称R是传递关系。换句话说，如果当aRb真并且bRc真时，aRc必真，则R为传递关系。2．反传递关系如果当a对b有R关系，并且b对c也有R关系时，a对c必定不具有R关系，我们就称R是反传递关系。换句话说，如果当aRb真并且bRc真时，aRc必假，则R为反传递关系。3．非传递关系如果当a对b有R关系，并且b对c也有R关系时,a对c可能具有R关系，也可能不具有R关系，我们就称R是非传递关系。换句话说，如果当aRb真并且bRc真时，aRc可能真，也可能假，则R为非传递关系。弄清关系的逻辑性质是非常重要的。一种关系是对称的、反对称的还是非对称的，是传递的、反传递的还是非传递的，必须区分清楚，不容混淆。否则，就可能造成思维上的混乱，或得出错误结论。例：猎人的朋友的朋友和兔子的汤的汤第二节简单命题推理简单命题推理是完全由简单命题构成，根据简单命题所断定的词项之间的逻辑关系，或简单命题中词项的逻辑性质进行的推理。简单命题推理可以分为直言推理和关系推理。一、直言推理直言推理是完全由直言命题构成，根据直言命题中词项之间的逻辑关系进行的推理。直言推理包括直言变形推理和直言三段论。（一）直言变形推理直言变形推理是通过改变一个直言命题的形式，推出另一个直言命题的推理。对一个直言命题进行变形的基本方法有两种，一种是换质，一种是换位。这两种方法可以结合起来交替使用。根据直言变形推理运用的是换质法、换位法还是两者兼而有之，可将其分为换质推理、换位推理、换质换位并用推理。1．换质推理换质推理是通过改变一个直言命题的质，即改变其联项（将肯定的变为否定的，或者将否定的变为肯定的），推出另一个直言命题的推理。在运用换质推理时，除了要改变前提的质，即改变前提的联项以外，还必须遵守以下规则：1）前提的主项和量项在结论中必须保持不变。2）前提的谓项和结论的谓项必须是互相矛盾的概念，并且其中有负概念。3）前提主项的外延不能超出前提谓项和结论谓项的外延之和。以SAP、SEP、SIP、SOP为前提，进行换质推理，可分别得出SEP、SAP、SIP、SOP；反之亦然。换质推理的前提和结论可互推，具有逻辑等值关系。表示推理形式，可用竖式，也可用横式。前者用横线表示推出关系，后者用“”表示推出关系。在进行换质推理时，必须遵守换质推理的规则。规则1）和规则2）无非是说，在对一个直言命题进行换质以后，只需再将前提的谓项加上一个否定词或减去其原有的否定词即可，其他部分不应作改变。然而，在有些情况下，事情似乎不那么简单。例如，若对“猫不是知识分子”进行换质，得出“猫是非知识分子”，就前提真而结论假了。这是因为，“知识分子”和“非知识分子”的矛盾关系是相对于其共同属概念“人”而言的，它们的外延之和只能穷尽人这个范围内的对象。猫超出了人的范围，由它不是知识分子，也就不能得出它是非知识分子了。考虑到此类情况，我们制定了规则3）。不过，规则3只对具体的换质推理才起作用，对换质推理的形式却起不到制约作用。这是因为，S的外延是否超出了P和P的外延之和，仅从前提和结论的形式是看不出的。我们只能假定，凡有效的换质推理形式都是对符合规则3的具体换质推理的抽象。2．换位推理换位推理是通过交换一个直言命题的主项和谓项的位置，推出另一个直言命题的推理。在运用换位推理时，除了要交换前提的主项和谓项的位置以外，还必须遵守以下规则：1）前提的联项在结论中必须保持不变。2）前提中不周延的词项在结论中不得周延。这两条规则中，规则2涉及周延问题。如果一个词项在前提中不周延，就是说，在前提中没有断定其全部外延，那么，在结论中就不能断定其全部外延，否则，结论断定的事物情况就超出了前提的范围，就不能保证只要前提真结论必真了。以SAP、SEP、SIP、SOP为前提，是不是都可以进行换位推理呢？下面我们逐一进行分析。（1）SAPSAP是肯定命题形式，换位后仍应是肯定的；SAP的谓项P不周延，换到主项的位置上后，应当还是不周延的（至于SAP的主项S原来是周延的，换到谓项的位置上后变为不周延的，这并不违反规则）。因此，结论为PIS。（2）SEPSEP是否定命题形式，换位后仍应是否定的；SEP的谓项P是周延的，换到主项的位置上后，可以周延，也可以不周延。因此，结论可以为PES，也可以为POS。（3）SIPSIP是肯定命题形式，换位后仍应是肯定的；SIP的谓项P不周延，换到主项的位置上后，应当还是不周延的。因此，结论为PIS。（4）SOPSOP是否定命题形式，换位后仍应是否定的；SOP的主项S不周延，换到谓项的位置上后，却变为周延的，违反了规则。因此，以SOP为前提，不能进行换位推理。换位推理中由SEP推出PES和由SIP推出PIS的推理是可逆的，其前提和结论可互换位置，这两种换位推理的前提与结论具有逻辑等值关系。由SAP推出PIS以及由SEP推出POS的换位推理则是单方向的，是不可逆的。在运用换位推理时，必须遵守换位的规则。否则，即使结论真实，推理也是无效的。3．换质换位并用推理换质换位并用推理是将换质和换位结合起来交替运用的推理。它并不是一种单一的推理，而是包含着两个或两个以上推理的较复杂的推理过程。换质换位并用推理可以先从换质开始，也可以先从换位开始。换质换位并用推理不限于只分别运用一次换质和换位，有时在换了一次质和一次位（或换了一次位和一次质）以后，还可以继续换质（或换位）。在运用换质换位并用推理时，换质和换位应交替进行，并且在换质时应遵守换质推理的规则，在换位时应遵守换位推理的规则。例：该来的和不该走的（二）直言三段论1．什么是直言三段论直言三段论是以含有一个共同词项的两个直言命题为前提，推出另一个直言命题的推理。一个直言三段论是由三个直言命题构成的，并且只含有三个不同词项，每个词项各出现两次。这三个词项分别称为小项、大项和中项。小项是做结论主项的词项，通常用S表示；大项是做结论谓项的词项，通常用P表示；中项是在两个前提中各出现一次，而在结论中不出现的词项，通常用M表示。直言三段论的两个前提，按其含有大项还是小项，区分为大前提和小前提。含有大项的前提称为大前提；含有小项的前提称为小前提。由三个直言命题构成并且只含有三个不同词项，这是任何一个直言三段论都必须具备的特征。不具备这个特征，就不是直言三段论。有些推理从表面上看，似只含有三个不同词项，但实际上却含有四个不同词项，也就是说，这个推理的两个前提并不含有共同词项，因而不能将其视为直言三段论。这种以含有四个不同词项的三个直言命题来冒充直言三段论的错误做法，可称为“四词项”错误。例：（1）物质（2）四不像（3）中国人用标准的形式表述直言三段论，一般按照大前提、小前提、结论的顺序。但日常语言是灵活多样的，人们用日常语言表达的直言三段论并不一定按照这样的顺序。因此，遇到一个具体的直言三段论，何为大前提，何为小前提，何为结论，必须进行具体分析。例：形式逻辑是有阶级性的2．直言三段论的规则与直言变形推理一样，直言三段论也有其规则。直言三段论的规则有以下几条：1）中项至少要周延一次。在直言三段论中，中项是联结大、小项的媒介，如果中项在大、小前提中都不周延，那么大项只与中项的一部分外延发生关系，小项也只与中项的一部分外延发生关系，而这两个“一部分外延”也许是完全不同的部分，这样，中项实际上就起不到联结大、小项的作用，从而也就不能必然地推出结论了。违反规则1而造成的逻辑错误可称为“中项不周延”。例：（1）人、运动员与青年（2）哺乳动物、狗与动物（3）有精神病的人2）前提中不周延的词项在结论中不得周延。这条规则是关于大、小项的规则。如果在前提中没有断定大项或小项的全部外延，那么在结论中也不能断定其全部外延，即不能使其周延情况扩大。否则，就不能从前提必然地推出结论。违反这条规则的情况有两种：一是大项在前提中不周延，而在结论中周延，这种错误称为“大项扩大”，或“大项不当周延”；二是小项在前提中不周延，而在结论中周延，这种错误称为“小项扩大”，或“小项不当周延”。例：（1）《红楼梦》、有卓越艺术成就的小说与清代小说（2）法制教育学习班（3）火车晚点3）两个前提不能都是否定的。否定命题断定的是主项与谓项之间的排斥关系。如果两个前提都是否定的，那就意味着大项与中项相排斥，小项也与中项相排斥，这样，中项在大、小项之间就无法起到媒介作用，因而就无法确定大、小项之间的关系，也就无法从前提必然地推出结论了。例：马、这种动物与牛4）如果前提中有一个是否定的，则结论必须是否定的。由于两个前提不能都是否定的，所以，当前提中有一个是否定命题时，另一个必须是肯定命题。否定命题断定的是主项与谓项之间的排斥关系，肯定命题断定的则是主项与谓项之间的相容关系。两个前提一个否定，一个肯定，就意味着中项与大、小项中的一个是相互排斥的，与另一个则是相容的。这样，大项（小项）与中项相排斥的部分同小项（大项）与中项相容的部分，就必然是相排斥的，所以，结论必然是否定命题。例：菌类植物、绿色植物与蘑菇5）如果两个前提都是肯定的，则结论必须是肯定的。如果两个前提都是肯定的，说明大、小项都与中项相容。这样，借助中项的媒介作用，只能得出大、小项之间也具有相容关系。例：自然数、非负整数与大于等于零的整数以上五条规则为直言三段论的基本规则。凡同时符合这五条规则的直言三段论都是有效的。除了这五条基本规则，直言三段论还有两条导出规则，即从这些基本规则推导出的规则，我们将其作为规则6和7。两个前提不能都是特称的。如果两个前提都是特称的，无非是以下三种组合情况：两个前提都是I命题。由于I命题的主、谓项都不周延，当两个前提都是I命题时，无论中项在大、小前提中处于什么位置，都是不周延的，这就违反了“中项至少要周延一次”的规则。两个前提都是O命题。这种情况违反了规则3“两个前提不能都是否定的”。—个前提是I命题，一个前提是0命题。在这种情况下，只有0命题的谓项是周延的，为了不违反规则1“中项至少要周延一次”，这个唯一周延的位置必须为中项所占有。这样，大项在前提中只能是不周延的。由于前提中有一个是否定命题，根据规则4，结论必须是否定的，因而大项在结论中周延，但这样一来，就违反了规则2“前提中不周延的词项在结论中不得周延”。总之，当两个前提都是特称的时，无论是以上三种情况中的哪一种，都会违反直言三段论的基本规则。所以，两个前提不能都是特称的。如果前提中有一个是特称的，则结论必须是特称的。由于两个前提不能都是特称的，所以，当前提中有一个是特称命题时，另一个必须是全称命题。两个前提一个全称，一个特称，其组合情况不外乎以下四种：一个前提为A命题，一个前提为I命题。在这种情况下，只有A命题的主项是周延的，为了不违反规则1“中项至少要周延一次”，这个唯一周延的位置必须为中项所占有。这样，小项在前提中就是不周延的，根据规则2“前提中不周延的词项在结论中不得周延”，小项在结论中只能是不周延的，所以结论只能是特称命题。一个前提为A命题，一个前提为0命题。在这种情况下，A命题的主项和0命题的谓项是周延的。为了不违反规则1“中项至少要周延一次”，这两个周延的位置必须有一个为中项所占有。由于前提中有一个是否定命题，根据规则4，结论也只能是否定的，从而大项在结论中周延；为了不违反规则2“前提中不周延的词项在结论中不得周延”，前提中另一个周延的位置必须给大项。这样，小项在前提中就只能是不周延的，根据规则2，它在结论中也应该是不周延的，所以，结论只能是特称命题。（3）—个前提为E命题，一个前提为I命题。在这种情况下，E命题的主项和谓项是周延的。根据与上一种情况同样的理由可得出，结论只能是特称命题。（4）一个前提为E命题，一个前提为0命题。这种情况违反了规则3“两个前提不能都是否定的”。可见，当前提中有一个是特称命题时，符合规则的前提组合只有三种，而这三种情况都只能得出特称的结论，这也就证明了“如果前提中有一个是特称的，则结论必须是特称的”。与基本规则不同，就判定直言三段论的有效性来说，直言三段论的导出规则不是必需的。凡违反了规则6或规则7的直言三段论，必然会违反直言三段论的基本规则。为方便记忆，可将以上七条规则编成四句口诀：中项之中有周延，大项小项不扩展，一特得特否得否，否特成双结论难。直言三段论的规则还可简化。规则3、4、5可概括为：前提和结论否定命题的数量必须相同。规则6、7可概括为：前提中特称命题的数量不能超过结论。这样，基本规则就只剩三条，导出规则变为一条。规则少了可能便于记忆，但用起来可能不方便。对于直言三段论的规则，必须正确地理解和运用。七条规则中比较容易产生误解的是规则2）和规则7）。规则2）“前提中不周延的词项在结论中不得周延”只是要求词项的周延情况不扩大，但并不要求词项的周延情况不缩小。【思考】下列说法中哪些是正确的？（1）在前提中周延的词项在结论中必须周延。（2）在结论中周延的词项在前提中必须周延。（3）在结论中不周延的词项在前提中必须不周延。规则7）“如果前提中有一个是特称的，则结论必须是特称的”只是说，在出现了一个特称前提的情况下，不能得出全称的结论，但并没有说从两个全称前提不能得出特称的结论。从断定的事物的范围看，全称显然大于特称。如果把从特称的前提到全称的结论看作扩大，那么规则7）与规则2）类似，仍是要求从前提到结论所断定的事物情况范围不扩大，至于缩小则不在禁止之列。【思考】下列说法中哪些是正确的？（1）如果两个前提都是全称的，则结论必须是全称的。（2）如果结论是特称的，则两个前提中必须有一个是特称的。（3）如果结论是全称的，则两个前提必须都是全称的。【趣题】他在看谁的画像？3．直言三段论的格与式直言三段论的形式是多种多样的。一个直言三段论具有怎样的形式，取决于直言三段论的格与式。1）直言三段论的格所谓直言三段论的格是指由中项在前提中的位置决定的直言三段论中词项的排列方式。中项在大前提中可以处于主项的位置，也可以处于谓项的位置，在小前提中也一样，这样，就决定了直言三段论中的词项有四种不同的排列方式，即直言三段论有四个不同的格。它们分别是：第一格：中项在大前提中处于主项的位置，在小前提中处于谓项的位置。其结构可表示为：第一格的直言三段论明显地体现了前提与结论之间的必然联系，并且可以得出A、E、I、O四种不同的结论，因此在人们的思维活动中应用得十分广泛。第二格：中项在大、小前提中都处于谓项的位置。其结构可表示为：在第二格的结论只能是否定的。运用第二格的直言三段论，可以确立事物之间的区别，或反驳某个肯定命题。第三格：中项在大、小前提中都处于主项的位置。其结构可表示为：TOC\o"1-5"\h\zMPMISSP第三格的直言三段论只能得出特称的结论。运用第三格的直言三段论，可以反驳某个全称命题。第四格：中项在大前提中处于谓项的位置，在小前提中处于主项的位置。其结构可表示为：第四格的直言三段论可以得出E、I、O三种不同的结论，但不能以A命题为结论。在实际思维活动中，第四格的直言三段论是很少有人用的。由于中项的位置在第四格中与在第一格中相反，故很容易将第四格的直言三段论转化为第一格的。2）直言三段论的式直言三段论的格只涉及大、中、小项的位置。只知道了大、中、小项的位置，还不能确定一个直言三段论的形式。要确定一个直言三段论的形式，还得知道直言三段论的大前提、小前提和结论都是哪一种直言命题，这就是直言三段论的式要解决的问题了。所谓直言三段论的式就是指由做大、小前提和结论的直言命题的类型决定的直言三段论前提和结论的组成方式。直言三段论的式由代表做其大前提、小前提和结论的直言命题类型的字母来表示。直言三段论的大前提可以是A、E、I、O四种直言命题中的任何一种，小前提和结论也是如此，这样，直言三段论就有4X4X4=64个不同的式。如果将这64个不同的式分别与四个格相结合，可构成直言三段论的256种不同形式。但是实际上，这64个式中的大部分是违反了直言三段论的规则的，它们无论与哪一格相结合，所得到的直言三段论形式都是无效的。我们根据直言三段论的规则将这些违反了规则的式去掉以后，64个式就只剩下了11个，它们是：AAA、AAI、AEE、AEO、All、AOO、EAE、EAO、EIO、IAI、OAO。然后，我们将这11个式与四个格相结合，形成直言三段论的44种形式，再分别用直言三段论的规则1和规则2（这两条规则都是涉及词项周延问题的）检验，排除各格中的无效式。最后的结果是，每个格各有6个有效式，它们是：第一格AAA，AAI*，AII，EAE，EAO*，EIO；第二格AEE，AEO*，AOO，EAE，EAO*，EIO；第三格AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO；第四格AAI，AEE，AEO*，EAO，EIO，IAI。上述式中标有星号的称为弱式，弱式是本来可从其前提推出全称结论，却推出了特称结论的式。根据差等关系可知，当SAP真时，SIP必真；当SEP真时，SOP命题必真。所以，弱式显然也是有效的。【分析与思考】给“有些理发师留胡子，因此，有些留胡子的人穿白衣服”这个推理增加一个什么前提，可以使推理有效？有些理发师不穿白衣服有些穿白衣服的理发师不留胡子所有理发师都穿白衣服有些理发师不留胡子所有穿白衣服的人都是理发师4．直言三段论的省略推理在用日常语言表达直言三段论时，有时我们可以省略大前提、小前提和结论中的某一部分。例：（1）社会主义社会也存在着矛盾（2）保护青蛙（3）没有文化的军队在语言表达上省略了大前提、小前提或结论的直言三段论，可称为直言三段论的省略推理。运用这样的省略推理，可以使语言简洁，避免不必要的重复。但因有省略，也容易使一些错误被掩盖起来。例：（1）学外语没用（2）布谷鸟与白天鹅（3）汽车司机与售票员（4）好教师（5）家里钱多的人与小偷（6）两次从工厂出来的人要对一个直言三段论的省略推理进行检验，要发现其中可能隐藏着的错误，就必须把它恢复成完整的直言三段论。一般来说，这种恢复并不困难，因为省略部分所具有的内容已经通过未省略的部分表明了。如果一时看不清楚，可采取以下步骤：1）分清前提和结论。2）分清大、小前提。3）恢复省略部分。在第二章讲到省略推理时曾说过，在为一个省略推理补充前提时，应遵循宽容原则，即尽可能使该推理前提真实、形式有效，这个原则对于直言三段论的省略推理当然也同样适用。只有无论怎样恢复省略部分都不可能使一个直言三段论的省略推理既前提真实又形式有效，才能说该省略推理是错误的。例：图像清晰的电视机二、关系推理关系推理是完全由关系命题构成或者由关系命题和直言命题共同构成的推理。它是以关系命题所断定的关系的逻辑性质，或者关系命题和直言命题的逻辑含义为推理依据的。关系推理按其完全由关系命题构成，还是由关系命题和直言命题共同构成，可以分为纯关系推理和混合关系推理。一）纯关系推理纯关系推理是完全由关系命题构成，根据关系命题中所断定的关系的逻辑性质进行的推理。关系的性质有对称性和传递性之分。从对称性的角度，关系可分为对称关系、反对称关系和非对称关系，其中对称关系和反对称关系的特性可作为推理的依据；从传递性的角度，关系可分为传递关系、反传递关系和非传递关系，其中传递关系和反传递关系的特性可作为推理的依据。所以，纯关系推理相应地包括对称关系推理、反对称关系推理、传递关系推理和反传递关系推理四种。1．对称关系推理对称关系推理是根据事物a对于事物b有某种关系，并且这种关系是对称关系，推出事物b对于事物a也具有这种关系。其形式可表示为：aRbbRa这个推理形式中的R表示任一对称关系。2．反对称关系推理反对称关系推理是根据事物a对于事物b有某种关系，并且这种关系是反对称关系，推出事物b对于事物a不具有这种关系。其形式可表示为：aRbbRa这个推理形式中的R表示任一反对称关系，R表示对关系R的否定，即不具有R关系。3．