专题05函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（重难点突破）原卷版

专题05函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.3、函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．4、函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则．（4）若函数是偶函数，则．（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数为偶函数，函数为奇函数．②函数（且）为奇函数．③函数（且）为奇函数．④函数（且）为奇函数．重难点突破1判断或证明函数的单调性1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；②增函数减函数=增函数，减函数增函数=减函数；③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。2．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1、（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（

）A． B． C． D．1、（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）（多选题）下列函数在上为增函数的是（

）A． B．C． D．例2、（2023春·云南玉溪·高一统考期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．1．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（

）A． B．C． D．例3、（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．1．（2022秋·福建福州·高一校考期中）已知是上的增函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．例4、（2022·全国·高一专题练习）求函数在区间上的最大值和最小值.1．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知函数，(1)求该函数的定义域；(2)证明该函数在上单调递减；(3)求该函数在上的最大值和最小值；(4)判断函数的奇偶性并说明理由.重难点突破2单调性的应用例5．（1）、（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）、（2021·四川自贡·高一期中）若是定义在上的减函数，且．则的取值区间为_______1、（2022·江苏·高一）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是.重难点突破3判断或证明函数的奇偶性1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.例6．（1）、（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．且（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．1．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）（多选题）已知函数，函数，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数2．（2022春·天津·高二统考学业考试）下列函数中是奇函数的为（

）A． B．C． D．例7、（2022秋·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.(1)当时，求函数的解析式；(2)解不等式.1．（2022秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求在上的解析式；(2)判断在的单调性，并给出证明．(3)若，求实数的取值范围．重难点突破4奇偶性的应用例8．（1）、（2023秋·云南大理·高二统考期末）若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是.（2）、（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.1．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上单调递增 D．在上单调递减2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.重难点5单调性与奇偶性的综合应用例9．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））设是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．2．（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.重难点5抽象函数的单调性与奇偶性例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对于任意，总有，且时，.(1)求证：在上是奇函数；(2)求证：在上是减函数；(3)若，求在区间上的最大值和最小值.1．（2023·山西·高二统考学业考试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．1．（2022秋·北京顺义·高一校考期中）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）已知函数是奇函数，当时，，则=（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则（

）.A． B．1 C．0 5．（2023·江苏·高一假期作业）下列函数在区间上是减函数的是（）A． B．C． D．6．（2023春·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．当时，C．是图像的一条对称轴D．在上单调递增7．