八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题11 全等三角形判定重难点知识（解析版）

专题11全等三角形判定重难点知识典例解析【知识点1：找条件判定全等】例题1．（2021·江苏）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．B．C． D．【答案】B.例题2．（2021·安徽淮南市期中）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DC．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E【答案】A.【解析】解：A、根据AAS可以判定△ABC≌△DEF；B、AB与EF不是对应边，不能判定△ABC≌△DEF；C、没有边对应相等，不能判定△ABC≌△DEF；D、角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF；故答案为：A．例题3．（2021·山东临邑县期中）下列说法中：①三角形的三条高一定交于三角形内部一点；②若三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；③关于对称轴对称的两个图形一定是全等图形；④一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等；⑤两组角分别相等且一组边相等的两个三角形全等；正确个数的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A.【解析】解：①锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的三条高没有交点，故①错误；②如图所示，∵AD=BD=CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠B+∠1+∠C+∠2=180°，∴∠1+∠2=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③关于对称轴对称的两个图形一定是全等图形，故③正确；④如图所示，EF是△ABF中AB边上的中线，GH是△CDH中CD边上的中线，当AB=CD，EF=GH时，两三角形不一定全等，故④错误；⑤∵两组角对应相等且夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），两组角对应相等且其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），∴两组角分别相等且一组边相等的两个三角形全等，故⑤正确；故答案为：A．例题4．（2021·江苏洪泽外国语中学）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（）A．， B．，，C．，， D．，，【答案】C.【解析】解：A．∠C=90°，AB=6，不符合全等三角形的判定方法，即不能画出唯一三角形；B．∠A不是AB、BC边的夹角，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形；C．符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形；D．3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形；故答案为：C．【知识点2：与折叠、角平分线有关】例题5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D.【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴CP平分∠ACF，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD，∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN，∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，故答案为：D．例题6．（2021·河南长葛期中）数学活动，用全等三角形研究筝形：如图，在四边形ABCD中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）如图，通过观察、测量、折纸等可以猜想筝形的角、对角线有什么性质，如：BD平分和，请结合本题图形，再写出两条“筝形”的性质：．（2）从你写出的两条性质中，任选一条“筝形”的性质进行证明．（3）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则面积＝______．【答案】（1）①筝形有一组对角相等；②AC⊥BD或AC垂直平分线段BD，（2）见详解；（3）24cm2．【解析】解：（1）①筝形有一组对角相等；②AC⊥BD或AC垂直平分线段BD，（2）证明性质①，如图，在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，求证：∠B=∠D，证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC∴∠B=∠D.②如图，在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，求证：AC垂直平分线段BD证明：连接AC、BD，如图所示：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵BC=DC，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分线段BD；（3）根据（2）中可得：AC垂直平分线段BD，依据图形得：“筝形”面积为两对角线乘积的一半，∴面积=×6×8=24cm2，故答案为：24cm2．例题7．（2021·湖北郧阳期中）情景观察：如图1，中，，，，，垂足分别为D，E，与交于点F．（1）写出图1中所有的全等三角形___________________________；（2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想；问题探究：（3）如图2，在中，，，平分，，垂足为D，与交于点E，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；（2）AF=2CE；（3）AE=2CD.【解析】解：（1）∵AE⊥BC，∴△ABE和△ACE是直角三角形∵AB=AC，AE=AE∴Rt△ABE≌Rt△ACE∵CD⊥AB，AE⊥BC，∠AFD=∠CFE∴∠DAF=∠DCB，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，∴△ADF≌△CDB；（2）AF=2CE理由：∵Rt△ABE≌Rt△ACE，∴BC=2CE，∵△ADF≌△CDB，∴FA=BC，∴AF=2CE；（3）AE=2CD理由如下：延长AB、CD交于点G，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，∴△ADC≌△ADG，∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG＝2CD．【知识点3：与动点有关】例题8．（2021·广东阳东期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为________．【答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4).【解析】解：∵B（−2，0），C（2，0），∴OB＝OC，∵∠AOB＝90°，OA＝4，∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB，此时D点坐标为（0，4）或（0，−4）；当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB，此时D点坐标为（2，4）或（2，−4）．故答案为（0，4）或（0，−4）或（2，4）或（2，−4）．例题9．（2021·河北玉田期中）如图，正方形ABCD的边长为2，延长BC到点E，使，连接DE．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿向终点D运动，设点P的运动时间为t秒，当与全等时，t的值为______秒．【答案】1或5.【解析】解：当P在AB边上时，在△DAP与△DCE中，△DAP≌△DCE，∴AP=CE，由题意得：AP=t=1，所以t=1，当P在CD边上时，在△ABP与△DCE中，△ADP≌△DCE，∴DP=CE，由题意得：DP=2×3-t-=1，解得t=5．当P在BC边上时，不满足条件．故答案为：1或5．例题10．（2021·湖北黄石期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm．F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A，Q两点间的距离是O，F两点间距离的a倍．若用(a，t)表示经过时间t（s）时，△OCF，△FAQ，△CBQ中有两个三角形全等．请写出(a，t)的所有可能情况____．【答案】（1，4），（，5），（0，10）.【解析】解：①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，∵OC=6，OF=t，AF=10-t，AQ=at，得：或，解得：或，∴（1，4），（，5）；②当△FAQ和△CBQ全等时，BC=AF，BQ=AQ，即10=10-t，6-at=at，不存在；③F，Q，A三点重合，△COF和△CBQ全等，此时为（0，10），故答案为：（1，4），（，5），（0，10）．例题11．（2021·河南西平期中）如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．【答案】2.【解析】解：如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，∵△ABC，△ADF都是等边三角形，∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∴△BAF≌△CAD，∴∠BFA=∠CDA=120°，∴∠ODE=∠ODA=60°，

∴∠OED=30°，∴OE=OA=4，∴点C在直线DE上运动，∴当OC⊥DE时，OC最小，此时OC=OE=2，故答案为：2．【知识点4：与手拉手有关】例题12．（2021·江苏南通）（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，下列结论：①；②；③，其中正确的有__________．将所有正确的序号填在横线上）（延伸应用）（3）如图3，在四边形中，，，，试探究与的数关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠BED=180°，证明见解析.【解析】解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）∵△ABC和△AED是等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，故①正确，如图所示，记AD与CE的交点为G，由8字形，知∠BOC=∠DOE=60°，故②正确；如图所示，将OC逆时针旋转60°，交BO于点F，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC=OF，∠OCF=∠OFC=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，BC=AC，∴∠BCF=∠ACO∴△BCF≌△ACO，∴∠BFC=∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，故③正确；故答案为：①②③；（3）∵BD=CD，∠BDC=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC，∠DBC=60°，∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠A=∠BEC，∵∠BEC+∠BED=180°，∴∠A+∠BED=180°．例题13．（2021·湖南长沙市）已知直线交x轴于点A（a，o），交y轴下点B（0，b），且a、b满足．（1）求∠ABO的度数；（2）如图，若点在第一象限，且于点E，延长BE至点D，使得，连、、，试判断△COD的形状，并说明理由.【答案】（1）45°；（2）△COD为等腰直角三角形，见解析；（3）2.【解析】解：（1）由题意知，a+b=0，b-4=0，∴a=-4，b=4即OA=OB=4，△AOB为等腰直角三角形∴∠ABO=45°.（2）△COD是等腰直角三角形，如图所示：∵BE⊥AC，OA⊥OB∴∠EFB+∠EBF=∠OFA+∠OAF又∵∠OFA=∠EFB∴∠EBF=∠OAF在△AOC与△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴OC=OD，∠AOC=∠BOD∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠DOC∴∠DOC=∠AOB=90°∴△COD为等腰直角三角形【知识点5：综合题型】例题14．（2021·北京四中期中）我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．（初步思考）一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：（深入探究）满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相等．（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．（2）小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，四边形和四边形中，，，，，．求证：四边形四边形．（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形和四边形为例，分为以下几类：①；②；③；④．其中能判定四边形和四边形全等的是__________（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是_________________．【答案】（1）（2）见解析；（3）①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等.【解析】解：（1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但不一定全等．如图，已知AB=A1B1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，正方形ABCD和矩形A1B1C1D1不一定全等；（2）已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．证明：连接AC、A1C1．∵AB=A1B1，∠B=∠B1，BC=B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC=A1C1，∠BAC=∠B1A1C1，∠BCA=∠B1C1A1．又∵CD=C1D1，DA=D1A1，∴△ACD≌△A1C1D1．∴∠D=∠D1，∠DAC=∠D1A1C1，∠DCA=∠D1C1A1，∴∠BAD=∠B1A1D1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；（3）①②③；①已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．证明：连接BD、B1D1．∵AB=A1B1，A=∠A1，AD=A1D1，∴△ABD≌△A1B1D1，∴BD=B1D1，∠ABD=∠A1B1D1，∠ADB=∠A1D1B1，又∵∠ABC=∠A1B1C1，∠C=∠C1，∴∠DBC=∠D1B1C1，∴△BCD≌△B1C1D1．∴BC=B1C1，CD=C1D1，∠BDC=∠B1D1C1，∴∠ADC=∠A1D1C1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；同理可证明②③成立；④如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，已知AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．显然四边形ABCD和四边形A1B1C1D1不一定全等．例题15．（2021·江苏溧水期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．图1 图2 图3（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）见解析.【解析】解：（1）BD.（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°∴△AEF是等边三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EF