高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】

高考培优数学排列组合的经典模型及其应用”讲义编号：学员：年级：授课日期：讲师：授课方式（在线或线下）：（线下填）授课教学点：知识定位排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。知识诊断由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？知识梳理经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。常见题型和方法解析r排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,BC,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（#A、60种B、48种C、36种D、24种相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）C4C4C4—12_8_4-a、C2C8C4种b、3Ci；qq种c、C2C8A3种d、A3种全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种B、300种C、464种D、600种(2)从1,2,3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？(3)从1,2,3,・・・，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AcB)例10.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a,a,aL,a;a,a,a,L,a,L;a,a,L,a在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n123n234nn1n-1个元素的圆排列数有n!种•因此可将某个元素固定展成单排，其它的n-1元素全排列.n例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2,3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.(1)圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种?22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题，信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把(除a之外的)份信纸b、c……装入(除B以外的)n—1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C,装入D……的n—2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此：得到一个递推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)},分别带入n=2、3、4等可推得结果。1111也可用迭代法推导出一般公式：f(n)=n!(l-+-++(-1)n)1!2!3!n!综合习题拓展P卜易错问题归纳(★★★☆☆)知其“错”而知其所以“错”，请深度反思之。概念理解不清致错例1.抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”事件B“朝上一面的点数不超过3”求P（A+B）例2.某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列｛a｝，使a=（1，（当第n次掷出偶数），记S二a+a+…+ann[-1,（当第n次掷奇数）n12n求S>0（i=1,2,3,4）且S=2的概率。i8有序与无序不分致错例3.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙依次各抽一题。求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？例4.已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求:A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。分步与分类不清致错例5.某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？例5'．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处击中目标的概率为丄，他命中目标的2概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2,P],P0的值。考虑不周致错例6．某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：x78910P0.20.20.20.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为g，求：g的分布列。例7.将n个球等可能地放入到N(nXn)个有编号的盒子中(盒子中容纳球的个数不限)。求A：某指定的n个盒子中恰有一球的概率。混淆“互斥”与“独立”出错例8.甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？混淆有放回与不放回致错例9.某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值。

试题演练1•同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种2•三角形的3条边长均为正整数，其中有一条边长为4,但它不是最短的边，这样的不同三角形共有（）TOC\o"1-5"\h\zA.6个B.7个C.8个D.9个以一个正方形的顶点为顶点的四面体的个数为（）A.52B.58C.64D.70书架的一层内放着6本不同的书，现要在此层内再加放3本不同的书，要求原有书的相对顺序保持不变，则不同放法种数为（）A.C46A.C46B.A44C.A39D.A375一道竞赛题，A、B、C三人可解出的概率依次为2&、4，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（）A.丄24B.1124c.1724A.丄24B.1124c.1724D.16•从集合｛1,2,...,9｝中取出三个不同的数组成的等差数列有个。某车站有4个进站口，今有9个人进站，如果同一人进站口的选法不同，或几个人进同一站口但次序有先后之分（同一站口不能并列进多人），则视为不同的进站方式，那么不同的进站方式有种。从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的TOC\o"1-5"\h\z取法有种。3某企业正常用水的概率为3，则5天内至少4天正常用水的概率为。4在伊拉克战争中，美国军方创意地把要抓获的52个伊拉克官员，编成一副扑克牌，则美军方要抓获两个为同一花色的伊拉克官员的概率是。如从5双不同鞋号的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子能配成一双的概率是一个口袋内有4个红球，6个白球，（1）从中任选4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法共有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？某校共有10名同学在外语、数学竞赛中获奖，其中6人获外语奖，7人获数学奖，要从中选取外语、数学获奖者各3人参加决赛，有多少种不同的选法？在一份试题中出了六道判断题，正确的打钩，不正确的打叉，若解答者完全随意地记上六个符号试求：（1）全部正确的概率；（2）正确解答不少于4道的概率；（3）至少正确解答一半的概