经济问题中的概率统计模型及应用

#经济问题中概率统计模型及应用目录TOC\o"1-5"\h\z摘要2英文摘要3引言4市场调查过程中统计模型的应用42.1市场调查的定义42.2样本容量的确定42.3选取合理的抽样方法5早期概率统计模型的经济学应用53.1古典概型与早期博彩5数学期望与街头博彩式营销6保险业中的概率统计模型74.1随机变量与保险业74.2中心极限定理与保险业84.3保险业中的大数定理8伯努利大数定理84.3.2泊淞大数定理84.3.3保险业中大数定理的应用实例9概率统计模型在营销行业的应用9概率统计模型与经济预测——回归分析11概率统计模型与投资决策12概率统计在投资决策中应用的理论基础12概率统计在风险型决策中应用13概率统计在风险型决策中应用实例13概率统计模型在不确定型投资决策中的应用148本文总结15参考文献16\n数学与统计学院统计学姓名（学号）指导老师：姓名（职称）摘要：在经济全球化和大数据时代到来的今天，数据和经济的联系无疑更加密切。为了从复杂的现实数据中得到具有针对性的有效信息，需要借用一定的数学方法，即概率统计模型。概率统计模型不仅被用于进行市场调查、经济预测、风险决策等经济过程中，同时也应用于保险业、营销、管理等各个经济领域。通过概率统计模型，可以将错综复杂的经济问题具体化、数量化，使经济现象得到精确化的表述。关键词：概率统计模型；经济问题；市场调查；保险；营销；经济预测；风险决策TheProbabiniltiotyEacnodnoSmtaitcisItsicsuseMsodelApplyintoEconomicIssuesWangzijunDirector：Zhouzonghao(schoolofMathematicsandStatistics,HuangshanUniversity,Huangshan,China,245041)Abstract：Intheeraofeconomicglobalizationandbigdataarrivaltoday,dataandeconomicrelationshipisundoubtedlymoreclosely.Inordertoobtainvalidinformationtargeteddatafromacomplexreality,theneedtoborrowacertainmathematicalmethodsthatprobabilisticmodels.Probabilisticmodelsareusednotonlyforthemarketresearch,economicforecasting,riskandothereconomicdecision-makingprocess,butalsoapplicationofeacheconomyintheinsuranceindustry,marketing,managementandothereconomicsectors.Byprobabilisticmodelcanbecomplexeconomicissuesspecific,quantitative,economicphenomenonhasbeenpreciseformulation.KeyWords：Probabilisticmodel；Economicissues；marketsurvey；insurance；economicforecasting；investmentdecision引言随着社会脚步的前进，信息化的广泛深入，大数据时代也在迎着朝阳一步步走来。数据作为一种新时期的信息载体，越来越被社会各行各业所重视。与此同时，对于数据的加工处理，以及对于如何从数据中获取信息的研究问题也相应成为了一大研究热点。数据与经济问题的联系尤为密切，随着近年来的金融热，人们对于经济问题的关注日益增加。经济学界和有关经济部门在研究的过程中也意识到了用概率统计及建立模型的方法来解决经济问题的重要性。实践证明，概率统计及模型的应用是对经济问题进行研究分析的有效工具，是解决经济问题、进行经济预测和经济决策的又一手段和方式。与此同时，概率统计及模型在经济问题中得到越来越广泛的应用。本文从理论和案例两个方面入手，研究并分析概率统计模型在经济问题中的应用。市场调查过程中统计模型的应用研究经济问题，进行经济预测、决策的首要前提是要对现有的经济数据进行有效的收集整理，这其中就涉及到市场调查的问题。市场调查的定义市场调查就是指运用科学的方法，有目的、系统地搜集、记录、整理有关市场营销信息和资料，分析市场情况，了解市场现状及其发展趋势，为市场预测和营销决策提供客观的、正确的资料。在实际的市场调查过程中，并不是对所有客户资料进行收集整理，而是通过相应的抽样方式，对其中部分具有代表性的客户进行调查研究，从而推断出整体客户群的趋势——从所有数据中随机抽取一部分数据作为样本，再对这部分样本数据整理、计算、分析，由此推断总体。这个过程涉及到两个问题：一是所需调查的客户数量，即样本容量；二是采用怎样的抽样方式。样本容量的确定市场调查过程中，样本容量是影响调查结果精度以及实验效果的一个重要指标。样本容量过大，会使得调查的难度无形增大。同时，所需投入的人力、物力、财力也会相应增加，难以体现出抽样调查的优越性；样本容量太小，往往会使所选取样本对总体缺乏足够的代表性，抽样误差较大。由此看来,抽样设计中样本容量的确定环节尤为重要。从统计学的理论知识出发，判定样本容量的主要因素有：第一，总体各单位标志的变异程度；第二，要求的置信度；第三，允许的最大误差。此外，在实际调查中有时还涉及到实施项目的经费问题。设项目经费为t,y为固定成本，x为每增加一个样本单位需要增加的费用。0则，费用函数为：y=y+nx，ty+nx可作为约束条件。00根据上述影响样本容量的三大因素及随机抽样的基本原理，一般用来确定样Z2S2本容量的公式为：n=其中，n为样本容量，«为置信水平(通常为0.05,z©2为置信度，d为允许误差(通常根据实际情况而定)。2利用上述公式确定样本容量的关键在于总体标准差的得出,虽然无法直接获取,但可以采用近似值。通常有以下处理方法：直接法。在总体量较大的情况下，可以采用抽样调查估计总体标准差，即用样本标准差s近似估计总体标准差S。依据统计学的基础知识可知，s=-—£(x-X)2，s二—£(X-X)2TOC\o"1-5"\h\zn一1inii=1i=1n—-n一1入其中，s为s的渐进无偏估计，当样本数n〉30时，T1，s=sTs，n\n此时，样本标准差可近似替代总体标准差。间接法。通过查询企业原始资料或相关性较高的他方统计资料来估计总体标准差。经验法。根据经验丰富的相关负责人从各个方面综合考虑而估计的总体标准差。选取合理的抽样方法实际调查过程中主要的随机抽样方式有：简单随机抽样、分层抽样、等距抽样和整群抽样等。其中，简单随机抽样和分层抽样在现代统计实验中运用更为广泛。分层抽样的步骤：首先根据调研的内容和方向确定主要因素、指标；利用已确定出的因素、指标将总体分为不同阶级或类别的层；按比例对每一层进行简单随机抽样，从而得到样本。早期概率统计模型的经济学应用概率统计在经济问题中的应用起源于博弈，也就是赌博。有进行过概率统计相关学习的人知道这同时也是概率论的起源。古典概型与早期博彩这是一个有关赌本分配的问题。1654年，专业赌徒德梅累向法国数学家帕斯卡请教的一个烦扰他很久的赌本分配问题。假设甲、乙两人的赌博技艺相同，每人50法郎的赌注，并且过程中没有平局。并且两人约定，谁先赢满三局就得到全部赌本，即100法郎。试问：在甲赢两局，乙赢一局并出于某种原因需被迫中止赌博的情况下，100法郎赌本如何公平分配？帕斯卡与另一个法国数学家费马就该问题进行了交互讨论，首先提出了以下两种分法：(1)甲、乙各分得50法郎；(2)甲分得100(2/3)郎，乙分得100(1/3)法郎。两种不同分法的依据在于：第一种分法是从两人赌博技艺相同的前提条件出发，平均分配赌本；第二种分法不仅参考了两人赌博技艺相同的前提，同时兼顾了已经进行的三场赌局的结果。前种分法显然对甲不公平，而第二种分法相对而言更为公平。但是第二种分法还是未考虑比赛继续下去可能的比赛结果，那么还有何种公平的分配方案？不难看出，赌局继续下去的话，最多两局便可结束。若第四局甲胜，那么甲得所有赌本；若乙胜，则要进行第五局，两人中赢得该局者获得所有赌本。甲赢得所有赌本100法郎的概率为：P二1/2+1/4二3/4假设甲最终的到股本为X，则X的分布律为：X0100P1/43/4EX=0*(1/4)+100*(3/4)=75(法郎)为甲的期望所得；同时，可知乙的期望所得为100-75二25(法郎)。上述方法既考虑了前三局的结果，又兼顾了对之后赌局的一种预测，比前两种分法更为公平，也易于接受。这同时又是“数学期望”这个名称的由来，也被称为均值。数学期望与街头博彩式营销某商店推出一种有奖购物劵，金额为每张60元，同时设定10000张购物券中，有一等奖1个，奖金为500元；二等奖10个，奖金为100元；三等奖100个，奖金为10元；四等奖为1000个，奖金2元。问：购买5张该购物券的奖金期望值？解：假一张设购物券的中奖金额为X，则根据上述内容可得以下分布律：X5001001020P1/1000010/10000100/100001000/100008889/10000因此数学期望E(X)=-x500x100+丄°匚X10+1000x2=0.4510000100001000010000元)购买5张购物券的平均中奖金额为：E(5X)=5E(X)=5x0.45=2.25(元)从上述计算结果可以看出此类促销方式中，能够获得的奖金金额很少，这同时也告知了广大消费者不要因有奖促销而冲动消费。保险业中的概率统计模型随着现代工商业的飞速发展，保险业也在渐渐兴起。保险公司的业务性质要求其必须清楚各对象发生各项意外事故的概率，从而确定出合理的保险金额及理赔金额。同时，很多人都会产生一个相同的疑问，那就是若投保车险的被保险车辆在投保期间多次发生交通事故的情况下，保险公司会亏本吗？答案是一定的。保险业的盈利是以大数定律作为根基的。大数定律的具体内容是指在随机试验中，不同试验结果的出现是随机的，但是随着试验次数的增加到一定值时，各类试验结果的出现频率趋于稳定，甚至是趋向于某定值。比如，在相同条件下，向上抛一枚硬币，硬币掉落后哪面朝上是随机的，当上抛的次数足够多时，不难发现，硬币各面朝上的频率接近0.5。这一定律在保险业中同样适用。已知各类意外事项的发生是具有偶然性的，但大量的研究结果显示，各项意外事项的发生是有其规律的。而保险公司可以根据这些调研结果，针对不同的险种制定出其相应的保费额度和赔款额度，尽可能地降低亏本的可能性。保险业实际就是将具有随机性的风险聚集到一起，形成趋于确定性的风险予以分摊，达到“一人保大家，大家保一人”的效果。一般保险公司会根据相关的经验数据来估算各类事故发生的概率分布，从而计算出同质风险的损失率，进而得出纯保险费。下面是对于保险业中概率统计模型应用的具体研究。4.1随机变量与保险业随机变量是随机试验各类结果的数量标志，在保险业中，随机变量及其分布反映不同意外事故的亏损的金额和可能性大小。例：某市20%的人并未投任何健康类保险，现从该市随机抽查15人，用X表示15人中无健康类保险的人数，并假设没人是否投保健康类保险是相互独立的。X服从什么分布？并求(1)恰有4人；(2)至少有2人；(3)不少于2人且不多于4人。已知X的取值有：1,2,3,…，15；X013kP0.03520.13190.2309Ck0.2k0.815-k15P(X=k)=Ckx0.2kx0.815-k，k=0,l,2,...,15；15P(X=4)=C4x0.24x0.811二0.1876；15P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0.8329；P（2<X<4）二P（X二2）+P（X二3）+P（X二4）二0.6686。4.2中心极限定理与保险业中心极限定理是指在随机变量X独立同分布（设均值为卩，方差为a2）的情况下，从总体中随机抽取一个样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的分布近似服从于均值为卩，方差为a2/n的正态分布，即X-N（卩Q2）。中心极限定理作为现代保险业发展的理论依据，在保险行业发挥着极为重要的作用，保险公司运用中心极限定理来估算并预测公司的盈亏。例：现某企业10000名退休职工投保某保险公司的人寿保险，投保金额为每人每年200元。若投保人在投保年内死亡，则保险公司需支付投保人家属理赔款10000元。已知该企业退休职工的死亡率为0.017，问：该保险公司亏本的概率是多少？设一年内该批投保人的死亡人数为X,据题意可知变量X服从二项分布X〜B（n,p），其中n=10000，p二0.017。公司总收入：10000x200=2000000（万元）；公司支出：10000X（元）；亏本：支出<总收入，10000X<2000000，即X>200。根据中心极限定理（棣莫弗一拉普拉斯定理），可得：P（X>200）沁0.01。由上述例证可知,通过概率统计可以预测保险公司的盈亏概率,并且从上述计算结果可见保险公司亏损的可能性很小。保险业中的大数定理大数定理是一种试验次数足够多时,样本均值所呈现出规律。随机事件发生的偶然性随着试验次数增加而弱化,同时呈现出数量规律的一系列定理的总称。4.3.1伯努利大数定理假设n次独立试验中，事件A的出现频数为卩，事件A发生的概率为p，对于给定的任意小的正数w,都有limP<--p<£>=1。一般保险公司依据该定理nthHn对相关统计资料进行处理、计算,从而估计公司亏损的概率、各类意外事故的发生概率等等。泊淞大数定理假设随机变量g,g，…,g，…相互独立，P{g=1}=p，P{g=0}=q。其12nnnnn中，p=1-q，{g}服从伯努利大数定理。在保险业中，不同投保对象使得相nnn应保单亏损的概率也不尽相同,但当投保人达到一定数量时,保险公司可以从平均角度出发求得损失概率,以便于保险公司根据自身收支制定出合理的费率标准。保险业中大数定理的应用实例假设有n个投保人同时投保了同一险种，但他们的投保行为是相互独立的。其中，将g表示为每个被保险人实际产生的损失值，贝U，E（g）为各个投保人需ii要缴纳的纯保费，1£g为平均每个投保人实际获得的理赔金额。根据大数定理nii=1可知，当n*时，实际理赔金额与纯保费相等。概率统计模型在营销行业的应用生产商们为对其生产的商品制定出准确的营销方案及营销决策，需要对商品的市场需求度进行相关预测。在此预测过程中，可以通过收集消费者或销售人员的观点，进而使用时间序列法或回归分析法等对调查结果分析，最终得出结论。其中，回归分析法是以事物间的因果关系为依据而进行预测的方法。实际执行过程中，根据统计数据计算因果关系变量间的相关系数，计算所得结果越大，变量间的因果关系越密切。根据相关系数可确定出相应的回归方程，从而对未来的发展趋势进行一定的预测。例：某产品经销商上年度前3个季度有关产品销售量及销售成本的记录见下表月份123456789销售量（千个）100110120130140150160170180销售成本（万元）455154616670747885面是就以上数据进行的分析。销售成本与销售量相关散点图50100150200销售量（千个）从上图可以看出，该经销商该种产品的销售量与销售成本间可能存在某种线性关系，由此，可以将这种可能存在的线性关系为切入点，从而进一步研究。设y=a+bx,计算得：工x2=182400,工x2=182400,工xy工x2=182400,工x2=182400,工xy=84660；iiiii=1i=1i=1iii=1i=1所以，S=182400-1X12602=6000,S=84660-1x1260x584=2900；xx9xy9可得：b=SXy/S=2900一6000=0.48333,xxa=1x584-1x1260x0.48333=-2.77731；99据此，得出该经销商的销售量与销售成本的线性回归方程为y=-2.77731+0.48333x。接下来，对上面得出的线性回归方程进行检验。为检验线性方程的优良性，首先需估算出总体标准差，根据公式得：工y2=39304,工y=584,工xy=84660；iiiii=1i=1i=1S=工y2-1(工y)2=39304--x5842=1408.88889；yyii=1ni=1i9已知，S=2900，b=0.48333，则Q=S-bS=7.23189，

xyyyxyb2=-Q=1.03313。n-2在显着水平a=0.05的条件下，检验回归方程的显着性。由b=0.48333,S=6000，b2=1.03313，查表得t(7)=2.363，xx0^2迪6000=36.83362>2.363v1.03313故拒绝原假设H:b=0，线性回归方程的拟合度是显着的。因此，该经销商0可以根据已求得的回归方程对后期的销售量或销售成本进行相关预测。现代市场营销已然存在于社会经济的各个行业，同时也作为一项热门专业存在于各类院校、各种商务进修课程。因此，作为企业要在市场经济体制中生存发展，就应该学习正确的营销观念为导向，制定有效的市场运作、营销策略。对目前的市场活动和走向做出合理的分析，以保证能够准确估计未来的市场需求，从而制定出最有利的营销决策方案。这其中的分析、预测、决策都离不开概率统计及其模型的应用，在实际运用过程中，不同的模型适用的研究阶段是不同的，这受到很多主客观因素的影响。因此，如何将概率统计模型与营销进行更好的融合，即如何将概率统计模型有效地运用于营销方案制定过程中是我们未来需要深入研究的又一重要议题。概率统计模型与经济预测——回归分析为可以针对不同经济现象做出相应的经济决策，需先对经济现象进行预测。在此过程中，回归分析法是常用的方法之一，但是回归分析法的类别也有很多，根据相关关系中自变量的个数不同，有一元回归分析法和多元回归分析法。在实际经济活动中，某个经济现象的变化并不仅仅只有一个影响因素，而是多个因素共同作用的结果。并且，多个影响因素的主次难以辨别，次要因素的作用虽不够明显，但其作用也是不可忽视的。例：下表是某货运公司2000~2006年货运数据。某货运公司2000~2006年货运及相关数据年份货运总量生产总值社会消费品零固定资产投资运输、邮电部门固定资产投资额（亿元）（万吨）（亿元）售总额（亿元）总额（亿元）20002131735.833.9552415.947823.6207820011933800.937.7582317.593043.8732120022035863.541.1940320.248373.2672920032101979.945.4785525.369524.29948200420241092.250.3001731.177815.16198200514761198.855.9338236.114395.01351200619521355.962.417443.595696.1248依据上表给出的数据，可以对该货运公司货运总量与生产总值、社会消费品零售总额、固定资产投资总额及运输、邮电部门固定资产投资总额等因素间的相关关系进行分析。这其中包含的影响因素有多个，因此，需建立一多元回归模型。已知该公司主要从事货运服务，因此，将货运总量作为因变量y，其它四项相关经济指标作为解释变量x，x，x，x，分别表示“生产总值”、“社会消1234费品零售总额”、“固定资产投资总额”、“运输、邮电部门固定资产投资额”，实行多元回归分析。设因变量y与解释变量x，x，x，x构成的多元线性回归模型为：

1234y=B+Bx+Bx+Bx+Bx+H（i=1,2,3,4）。TOC\o"1-5"\h\z011223344i通常我们采用最小二乘法求解待定系数卩和偏回归系数BBBB。最小01234二乘法即BB，…,B可以使误差平方和014Q=工(y-y)2=X[y-(P+卩xh卩x)l2达到最小。接下来，对Q求关于TOC\o"1-5"\h\zii011i44ii=1i=1P,P，…,P的偏导数，并令其结果为0。014lP+lP+...+/P=/1111221441jlP+lP+...+/P=/2112222442j，/P+/P+...+/P=/4114224444jP=y-才Px,0iiTOC\o"1-5"\h\z上式中i，l..(i,j=1,2,…,4)代表各变量两两间的离均差积和，j/=z(x-X)(X-F)为y和x之间的离均差积和。ijitijtjit=1解得：P=4026.614，P=17.40676，P=0.125370，P=0.018223，P=0.02260301234将上述结果代入线性方程中，可得多元线性回归方程：y=4026.614+17.40676x+0.125370x+0.018223x+0.022603x。234回归分析主要从几个方面入手。首先，需要判断分析主体各个影响因素即变量之间是否存在相关关系，若存在，则需找出相关变量间合适的数学表达式。然后，对各影响因素进行分析，分辨出主次要因素。最后根据所得的回归方程，针对各自的需求做出合适的预测，并检验该种预测的精确度，从而对回归方程进行概率统计模型与投资决策概率统计是一门精准的数学语言，运用于实际生活的各个领域。它与投资决策融合的过程当中，主要是解决投资风险的不确定性、模糊性的问题，为投资方提供决策依据，最终做出最精确的判断。7.1概率统计在投资决策中应用的理论基础概率统计在投资决策中主要对风险进行分析，判定各种不确定因素对投资收益影响大小。由于实际经济环境的复杂性，投资商在做出投资决策的过程中，难以获得完全信息，从而不能准确地估算出各种情况发生的概率，造成在投资中的风险增加。而概率统计模型，能够通过相应的计算分析，将投资风险量化。将风险量化的步骤：在所有可能影响投资收益的不确定因素中，选择最不确定的因素首先进行分析；估算已选定不确定因素产生各种可能情况的概率；计算已选定因素发生的各种可能情形下投资收益的平均值；求得已选定因素发生的各种可能情形下投资收益的标准偏差；再从剩余的不确定因素中选出其中最不确定的因素，接着重复以上分析步骤。风险具有两种表现形式，一种是绝对形式的，风险报酬额；另一种是相对形式的，风险报酬率。概率统计在风险型决策中应用风险型投资决策是指投资商所处的投资环境比较复杂，但对有关未来的发展信息掌握的很全面，因而在投资决策中能估量出不同类别风险可能发生的概率，最终建立相应的模型通过计算做出科学的选择。具体过程如下：计算投资收益的平均值X=Exp，其中，x为投资对象第i种情况下年净iiii=1收益的预测值，p为第i种情形的发生概率，n为各种不同情形的总数。i计算投资收益的标准差d=；£(x-X)2p及投资收益的标准差率^==。I=1'X计算风险报酬系数0用来反映风险报酬率受到投资风险的影响程度大小，实际操作过程中通常采用同行业的经验数据。计算风险报酬率r=阳并对投资方案做初步的筛选。若求得的投资风险值超过投资方的承受能力，则投资方案不能予以采纳。计算所有投资方案各时期的现金净流量的净现值(贴现率=风险报酬率+无风险报酬率)，依据收益最大化原则并结合投资方的投资偏好对投资方案做进一步的筛选。概率统计在风险型决策中应用实例某投资方准备进行一项投资，现公司管理层制定出了两种投资方案。具体见下表年份-方案1现金净流量方案2概率现金净流量概率0-100001.0-90001.0300000.3150000.31200000.4250000.4100000.350000.3假定该投资方的无风险报酬率为5%，风险报酬系数为0.1。方案1中：现金净流量平均值为X=30000X0.3+20000x0.4+10000x0.3=20000；1现金净流量标准差为d=7725.97；1现金净流量标准差率为a=7725.97一20000x100%=38.71%；1投资风险的预测值为卩=0.1x38.71%=3.87%（小数点后保留两位小数）；1预期的投资贴现率为5%+3.87%=8.87%；预期的现金流量净现值为NPV=20000-10000=8370.53。1+8.87%方案2中：现金净流量平均值为疋=15000x0.3+25000x0.4+5000x0.3=16000；2现金净流量标准差为d=8806.63；2现金净流量标准差率为a=8806.63一16000x100%=51.93%；2投资风险的预测值为卩=0.1x51.93%=5.19%（小数点后保留两位小数）；2预期的投资贴现率为5%+5.19%=10.19%；预期的现金流量净现值为NPV=16000-9000=5520.37。1+10.19%根据上述两方案计算结果对比可见，预期的现金流量净现值NPV>NPV，12所以方案1比方案2更为可取。概率统计模型在不确定型投资决策中的应用不确定型投资决策即指投资方对投资项目的信息掌握不够全面，对投资过程中各种情况的发生概率难以预估，是的做出的方案抉择带有较强的主观性，与投资方的自身偏好有关。影响不确定型投资决策的主要因素有：未来可能发生的各种情况的集合，又称自然状态空间，表示为©={0，0，…，0}；投资方的行动方案的种类集合，12n又称行动空间，表示为A={a,a，…,a}；投资收益函数V=（0,a）。12nijij不确定型投资决策概率统计模型的类型分为稳健型、激进型、折中化型、最小后悔值型。其中，稳健型是指投资者在做决策时，倾向于在最坏情况下利润最大化的投资方案；激进型是指投资者在决策时，倾向于在最乐观的情形下利润最大化的投资方案；折中化型是指投资者在投资决策中，会在稳健型和激进型的决策模型之间做出折中化的选择；最小后悔值型是指投资者在做投资决策时，以投资者未选择利润最大方案造成的损失值为依据…进行决策。由于在不确定型投资中…投资者掌握的项目信息不够充分…因此需结合实际情况…采用多个模型对项目进行分析…进而综合分析做出选择。例：某企业要进行一项投资，现有三种投资方案，如下表：单位：万元收益Vija1a2a3万案1方案2方案3市场情况1e1322620市场情况2e2202218市场情况3e3101816稳健型：V二min(32,20,10)二10二VTOC\o