正余弦定理及其应用

正余弦定理及其应用1．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、cA、B、C的对边。三角形内角和：A＋B＋C＝π。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。a b c 2R〔R为外接圆半径〕sinA sinB sinC的余弦的积的两倍。a2＝b2＋－2bco；b22＋a22ccoB；＝a22abco。三角形的面积公式：1 1 1△＝ah＝bh＝chh、h、h分别表示、c上的高；2 a

b 2 c a b c1 1 1△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；2 2 2在△ABCABsinAsinB解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．解斜三角形的主要依据是：设△ABCa、b、cA、B、C。〔1〕A+C=；〔2〕边与边关系：abc，bca，cab，a－bc，b－ca，c－ab；边与角关系：a b c正弦定理

2RR为外接圆半径；sinA sinB sinC余弦定理2=a2+b－2bcoC2=a2+－2acoa2=b2+2bco；它们的变形形式有：a=2RsinAsinAacosAb2c2a2。三角形中的三角变换

sinB b

2bc三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要留意三角形自身的特点。角的变换由于在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sinAB

Ccos

Csin ；2 2 2 2三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。例1〔1〕在ABC中，a2 3，c 6 2，B600，求b及解析1〕∵b2a2c2accosB=(2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos450=12( 6 2)24 3( 31)=82.∴b22.A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：(2 2)2( 6 2)2(2 2)2( 6 2)2(2 3)222 2( 6 2)解法一：cosA bc 2, ∴A600解法二：∵sinAasinB2 3sin450,3b 2 232又∵2∴A600

>2.41.43.8,2

21.83.6,ac，即00A900,2．在ABC中，sinAcosA

AC2AB3tanA的值和ABC222的面积。2解法一：先解三角方程，求出角A的值。22sinAcosA2cos(A45)1.60,A105.

cos(A45) ,2又0

A180,A4560)11333tan60)11333sinA

sin46)si4co6co4si6 .22 62 6S 2 6

ACABsinA

123 3(

6。ABC

2 2 4 42解法二：由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosA的值。22sinAcosA ①22(sinAcosA)2122sinAcosA120A180,sinA0,cosA0.(sinAcosA)212sinAcosA3,26sinAcosA ②622 6①+②得 sinA2 642 6①－②得 cosA2 642 62 63从而tanAsinA 4 2 62 63cosA 42求sin2

AC2

+cos2B的值；b=2，求△ABC面积的最大值.1

a2c2b2 11．解〔〕a2+－b= ac2

∴cosB= 〔2分〕2ac 4∴sin21

A C cos2B [1－cos〔A+C〕]+[2cos2B－1] 2 2= [1+cosB]+[2cos2B－1]…2=1[1+1]+[2×11]=－1…152 4 16 415〔2〕由cosB=1

得：sinB=

∵b=2∴ac≤83

4 41 ac+4≥2ac〔当且仅当a2=c2= 时取“=”号〕1 2 3……10分1515∴S =1ac·sinB≤1 8 =1515BC

××2 2 3 4 3故：△ABC面积的最大值为

……12分153154．△ABCA3

,BC3,则△ABC的周长为〔D 〕A．4 3sin(B)3 B．4 3sin(B)33 6C．6sin(B)3 D．6sin(B3

)3解析：在ABC中，由正弦定理得：

ACsinB

3 ,化简得AC=2 3sinB,323ABsin[(B)3

3 ，化简得AB=2 3sin(2B)，3332所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+2 3sinB+2 3sin(2B)3=3+3 3sinB3cosB6sin(B6

)3.。应选D。A C A C3tan3

tan

tan tan 的2 2 2 2值。3A、B、CA＋B＋C＝180A＋C＝120°，3AC从而2

＝60°，故tan

AC2

.由两角和的正切公式，tan

A Ctan32 23得 A C 。1tan tan2 2A C A C33所以tan33

tan tan tan ,2 2 2 2A C A C33tan tan tan tan 。332 2 2 26在△ABCA，B，C对边的边长分别是a，b，c，c2C．33〔Ⅰ〕假设△ABC的面积等于3

a，b；〔Ⅱ〕假设sinCsin(BA2sin2A，求△ABC的面积．12分．3〔Ⅰ〕由余弦定理及条件得，a2b2ab4，3又由于△ABC的面积等于

1absinC323

，得ab4． 4分a2b2ab4，

a2

b2联立方程组ab4，

解得 ，

． 6分〔Ⅱ〕由题意得sin(BAsin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA， 8分当cosA0A

，B，a ，b ，4 32 32 6 3 34 32 3当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，4 32 3a2b2ab4， a b4 32 3联立方程组b2a，

解得 ， ．3 32 3所以△ABC的面积S1absinC ． 12分2 32 3练习：在△ABC中，假设2cosBsinA＝sinC，则△ABC的外形肯定是〔 〕等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin〔A＋B〕＋sin〔A－B〕又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin〔A－B〕＝0，∴A＝B方向，通畅解题途径。在△ABClga－lgc=lgsinB=－lg等边三角形C．等腰三角形

并且B为锐角则△ABC的外形〔 D〕2直角三角形D．等腰直角三角形2306四川文18〕BC是ABC三内角，向量m(, 3)n(cos,sin)，且n1〔Ⅰ〕求角A〔Ⅱ〕假设1sin2B 3,求tanC。 cos2Bsin2 解析〔Ⅰ〕∵mn1∴1, 3cos,sinA1，即3sinAcosA1， 3 1 ， 1；2sinA2cosA21 sinA62 ∵0A,

A。6 6 6 6 6 312sinBcosB〔Ⅱ〕由题知cos2Bsin2B

3，整