量子场论讲义

PAGE.PAGE.第一章预备知识§1粒子和场以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反响过程，也就是说场是物质存在的更根本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。1.四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。四种相互作用的比拟见表1.1表1.1四种相互作用的比拟作用强相互作用电磁作用弱作用引力作用强度0.150.0073.力程∞∞媒介子介子胶子光子粒子引力子？典型反响π＋pγpνp电磁相互作用的强度是以准确构造常数来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子〔例如质子p〕为代表，通过典型的反响过程的比拟研究，确定各种作用强度的大小。2.粒子的属性不同粒子有不同的禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。最重要的属性有：质量m，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E和动量的关系为电量Q，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。自旋S，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2，矢量介子的自旋为1。平均寿命，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果个一样粒子进展衰变，经过时间后还剩下个，那么，式中即为粒子的平均寿命。磁矩，指粒子的自旋磁矩。它与粒子的自旋S满足关系：，式中是粒子电荷，为粒子质量，是数量因子。宇称P，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。假设在空间反演下，假设粒子的态函数改变符号，此粒子具奇宇称〔P＝－1〕。假设态函数保持不变，粒子具偶宇称〔P=1〕。粒子的性质，可查阅有关资料。例如：ParticleDataGroup编的ReviewofParticlePhysics,登载于Plys.Lett.B592(2004)。3.粒子的分类可按多种方式对粒子分类。按参与相互作用的性质，可分为三类：强子，既参与强相互作用，也参与弱相互作用。已发现的粒子大多数是强子，包括重子，介子。轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电子和μ子，有的只参与弱作用。〔c〕规玻色子，传递作用力的粒子，如γ，，。按轻子——夸克层次可分三类：按强子夸克构造理论，强子不是"根本〞粒子，强子是复合粒子，是假设干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。夸克有6种：上夸克〔u〕，下夸克〔d〕，奇异夸克〔s〕，粲夸克〔c〕，底夸克〔b〕和顶夸克〔t〕。按Gell_Mann&Zweig理论，夸克带有分数电荷，理论上称有"六味〞夸克，其所带电荷如下表：表1.2夸克的电荷味上u下d奇s粲c底b顶t电荷(e)2/3-1/3-1/32/3-1/32/3按此理论，强子不是粒子，而由夸克所构成，例如质子由u,u,d组成：，,，为反夸克，强子不看作粒子后，按轻子—夸克将粒子分类为：规玻色子，传递相互作用的粒子费米子，包括轻子和夸克Higss粒子，按弱电统一理论，应该有存在有自旋为0的Higss粒子，但实际上至今未发现。按此理论分类，有两个实验上未解决的问题，一是夸克禁闭，还找不到自由夸克，二是Higss粒子还未找到。按粒子的自旋分类.自旋s=0的粒子，称标量粒子，如，k介子等自旋的粒子，称旋量粒子，如电子e、质子p等自旋的粒子，称为矢量粒子，如的粒子，m=0的光子。高自旋粒子。这种分类，方便场方程的研究。§2自然单位制物理学中确定单位制的通常做法是，依据研究对象，为研究方便，选取几个相互独立的物理量及其单位作为根本单位，其它物理量和单位那么根据根本物理量及公式来表示，这些导出的单位称为导出量和导出单位。在微观高速现象的研究中，涉及的物理量有：长度、质量、时间、电荷和温度。为减少独立的根本物理量的数目，利用库仑定律并规定真空的介电常数为无量纲的数1来定义电荷，使电荷不再是根本物理量。为进一步减少独立的量纲，注意到，在微观高速领域，有三个重要的量：光速：量纲玻尔兹曼常数：量纲普朗克常数：量纲〔数据来自Pyhs.LettB592.91(2004)〕.建立一个在微观邻域应用方便的新单位制，规定这三个量的值为无量纲的1，即这样在这一单位制中，量纲关系为：dimc=1dimk=1dimh=1即，只剩一个独立的量纲。这一个独立的量纲可以选作能量、时间、长度或其它任何一种有量纲的物理量，这一单位制称为自然单位制。在量子场论中，应用自然单位制，选能量为根本量纲，根本单位为Mev或Gev.应用上，物理公式中的三个量、c、k都取为1。相对论能量动量关系.即为=+。方程的简化，给计算过程带来方便。当然在实际应用中，还是要用到实际单位制的。因为物理方程中的各项，都必须具有一样的量纲，将自然单位制方程中的各项乘上三个量〔或两个量〕的幂次积，由各项必须具有一样量纲决定幂次数值，即可将自然单位制的方程复原为实用单位制的方程。例如：在自然单位制中Klein—Kordon方程为作代入的量纲，求得，那么方程返回为实用制的方程。§3狭义相对论1.相对论的根本原理相对论的根本原理是：相对性原理。所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为一样的形式。光速不变原理。真空中的光速对于任何惯性系沿任一方向恒为C，并且与光源运动无关这两个原理说明时间和空间是运动着的物质存在的形式，时间和空间是不可分割的，打破了绝对的时空观念。三维空间和一维时间应该构成一个统一体——四维时空。在四维时空中，任意事件定义为：而事件的间隔定义为：在坐标系和相对运动速度为的坐标系中，具有间隔不变性，两坐标系之间作坐标变换(1.1a)依间隔不变性，变换矩阵元满足关系(1.1b)当两坐标系的X轴和’轴沿相对于∑的运动方向时，Lorentz变换的矩阵是：〔1.2〕式中，.引入符号.2.四维时空中的协变量四维时空中，在Lorentz变换下，满足变换规律：(1.3a)的物理量，即变换下不变的量S，称为Lorentz标量。满足变换规律〔1.3b〕的物理量，即在坐标系变换下与坐标有一样变换关系的具有四个分量的量，称为四维矢量。满足变换规律〔1.3c〕的物理量，称为四维二阶量。这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有一样的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。四维能量—动量矢量〔1.4〕是协变量。两个协变矢量的标积是不变量。因为式中对一样指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。作的标积，构成的不变量：不变量当，推导的关系式〔1.5a〕即(1.5b)这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。§4量子力学一维谐振子1．量子力学的假定描述微观粒子运动规律的量子力学是基于以下假定的：〔a〕微观体系的状态可由一个波函数完全描述。例如，在时刻t，在坐标x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz的无限小区域找到子的几率为：C是比例系数。〔b〕力学量用厄密算符表示。经典力学中的力学量〔C数〕在量子力学中用表示这个力学量的算符〔Q数〕表示。如能量E和动量，对应算符是：，〔1.6〕算符满足一定对易关系，如：〔1.7〕对易关系就是量子化规那么。(c)体系状态满足薛定格方程,(1.8)〔d〕体系的波函数可以用算符的本征函数作展开：〔1.9〕(e)体系满足泡利原理。动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进展量子化。2.一维谐振子的量子化在经典力学中，线形谐振子的运动方程是：(1.10)拉格朗日量是：(1.11)哈密顿量为：(1.12)式中。现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代.运动方程(1.13)为(1.14)引入对易关系：(1.15)这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。现引入一个新表象作处理，用算符a和代替p，x，令(1.16a)(1.16b)容易证明：〔1.17〕和(1.18a)即〔1.18b〕式中〔1.19〕那么谐振子的量子化问题转变成为对算符的本征态求解问题。本征方程是〔1.20〕是算符的本征态。方程〔1.20〕和对易关系〔1.17〕完成了在新表象中对谐振子的量子化。这一表象称为占有数表象。量子力学中已证明：(a)、厄密正定，,(b)、和分别称为产生算符和湮灭算符。当m为正整数时，，〔1.21a〕,(1.21b)式中:或表m次作用或。由〔1.21〕式知，假设是的本征矢。那么，也是的本征矢，且.，每作用一次a或a，本征矢减少或增加一级.所以,a和a分别称为产生算符和湮灭算符.(c)、为整数.(d)、记最低能态为|0>,且<0|0>=1.有:a|0>=0(1.22)|n>=a|0>(1.23)这些是一维谐振子量子化的主要结果。§5Lorentz变换1.Lorentz变换两惯性坐标系之间的时空变换中，使间隔保持不变的变换称为Lorentz变换，即要求由显然有：〔1.21〕式中为Kronecker符号。这是Lorentz变换的正交条件。惯性系的概念本身要求从一个惯性坐标系到另一个惯性坐标系的时空变换必须是线形的，即式中A为变换矩阵，为A的矩阵元，不考虑平移那么变换应是齐次的：(1.22)正交变换条件〔1.21〕变为(1.23)令代表变换矩阵的转置，那么〔1.23〕可写为〔1.24〕记A的行列式，依据有而，故有，即〔1.25〕利用，有即，或〔1.26〕由〔1.25〕和〔1.26〕式，可将变换作如下分类：表1.3变换的分类类别性质E连续R分立P分立T分立DetA=1，的E类变換称为正Lorentz变换，，的E和P变换，称为完全Lorentz变换。例：恒等变换条件是：变换矩阵为detA=+1，,属于E类，是连续变换。空间反演变换条件是：，t’=t变换矩阵为detA=-1,,属于P类，是分立变换。〔c〕时间反演变换条件是：，t’=-t变换矩阵为detA=-1，,属于T类，是分立变换。〔d〕时间空间联合反演变换条件是：，t’=-t变换矩阵为detA=1,,属于R类，是分立变换。2.无穷小变换在恒等变换邻域作无穷小变换(1.27)式中是无穷小量，将上式代入正交条件(1.23)式知(1,28)是反对称的。因为detA=+1，,属于E类，是连续变换。变换式(1,27)可写为矩阵形式(1,29)由的反对称性，可将改写为式中(1.30)是矩阵，是它的矩阵元的表示，例如，等，有：(1.31)也可表为式中是除矩阵元为1之外，其余为0的矩阵．可见，是三度空间角动量矩阵的四度时空推广．满足对易关系：假设令，式中那么有对易关系：3．有限变换对于无穷小变换假设作连续的有限屡次N的无穷小变换，即称有限变换。令：由于依公式：有即有限变换的生成元与无穷小变换的生成元一样，只是构造常数不同。因而有限变换的性质可用无穷小变换作研究，这给处理问题带来方便。4.场量的变换设场物理量由描述，当时空作Lorentz变换时，场函数也可能改变，设场量的变换矩阵为.即(1.36)依赖于变换矩阵A。对于无穷小变换可将按展开略去高阶无穷小，可表示为场量的改变是场量的改变也可表为(1.37)式中(1.38a)(1.38b)脚标表示坐标不变，场函数改变(在某点场函数的变化)，脚标表示场函数不变，坐标改变。将定义为场的主动变换，它着重于场量的泛函变化。从(1.37)及(1.38b)知，主动变换可表为(1.39)由于或有那么即结合(1.38)式，主动变换可表为：〔1.40〕它与场的变换算子有关，不同的场的主动变换因场变换算子不同而异。笫二章相对论性的自由场§1克莱因-戈登〔Klein-Gordon〕方程1.克莱因-戈登方程薛定谔方程中，粒子的动量和能量满足的是经典力学的关系，因而薛定谔方程是非相对论性的，为了建立满足相对论要求的粒子运动方程，显然应从相对论性的能量动量关系出发。在自然单位制中，相对论性的能量动量关系是〔2.1〕将力学量过渡到量子算符那么〔2.1〕式化为－(2.2)将此式作用于波函数，得(2.3)注意到那么(2.3)式化为(2.4a)或(2.4b)(2.4)式称为克莱因-戈登方程。因仅有一个波函数，适用于自旋为零的标量粒子。克莱因-戈登方程有平面波形式的解：～E满足(2.1)式，即能量为E=±(2.5)对有确定动量的粒子，能量有正、负能两个解。对于自由粒子，可定义物理态处于正能态，负能态可以不考虑，但存在相互作用时，能量有跃迁，没有理由不考虑负能解，这给问题带来困难。由常规方法易知，由(2.4)式可得连续性方程;(2.6)式中(2.7)假设将表示为的空间分量和时间分量ρ可表示为(2.8a)(2.8b)注意到，即，能量的本征态满足及，因而有如果把ρ解释为粒子出现的几率。当能量是负值时，ρ为负，出现负几率，这是无法解释的。显然，不能将克莱因-戈登方程看作是描述一个微观粒子运动的方程。当将克莱因-戈登方程作为标量场方程并进展量子化以后，和ρ解释为电流密度和电荷，负几率的问题不再存在。2.Lorentz不变性为满足相对性原理要求，表示物理规律的运动方程应该是Lorentz协变的，即在参考系变換下，运动方程的形式应该保持不变。在Lorentz变换ν(2.9)下，设波函数变换为(2.10)在(2.9)变换下，易知那么克莱因-戈登方程变换为(2.11)如果，那么(2.11)式写为与变換前的克莱因-戈登方程形式一致，说明克莱因-戈登方程具有Lorentz协变性，且(2.12)即变换后不变，波函数是Lorentz标量。现在计算的主动变换，由主动变换表式〔1.40〕式因为，有对无穷小变换因为式中所以(2.13)主动变换与軌道角动量有关。§2狄拉克〔Dirac〕方程克莱因-戈登方程利用相对论的能量动量关系，建立的相对论性粒子运动方程，出现了负能和负几率的困难。困难的根源在于(2.1)式作算符替代后，方程含有对时间的二阶微商。能否既利用相对论的能动量关系式，而又保持对时间的一阶微商，防止出现负能呢？Dirac方程做到了这一点。1.Dirac方程从质量能量动量关系式〔2.1〕看到，能量应是质量和动量的函数。因而将H用m和展开为.(2.14)式中係数(i=1，2，3)和是四个与无关与量纲无关的常数。将(2.14)过渡到算符，且作用于波函数上，得(2.15)显然，这是对时间一阶微分的符合相对性原理的方程，这就是Dirac方程。问题是和存不存在，如果存在，共有什么性质。因为要求H是厄密算符，因而要求和也是厄密算符，(2.16)将(2.14)代入(2.1)式，两边展开，并比拟式中m和的係数，可知算符和应满足条件(2.17a)(2.17b)(2.17c)式中是A，B的反对易关系式，(2.17)式说明(2.17d)(2.16)和(2.17)是和的代数性质。可以证明，和是维数至少是4的矩阵。在Dirac表象中，它们被取为以下形式(2.18)式中I为单位矩阵，0为零矩阵。是泡利矩阵:(2.19)易于验证(2.18)式满足(2.17)的条件，说明和是存在的。因为和为矩阵，要求方程(2.5)的波函数为4个元素的列矩阵，即(2.15)可分解为4个方程。(2.20)可以证明，的所有4个分量都满足Klein-Gordon方程。2.Dirac方程的协变形式矩阵将左乘Dirac方程(2.15)式，得到定义γ矩阵为(2.21)和构成矩阵，那么上式化为.(2.22)这就是协变形式的Dirac方程。由和.的代数性质，易知γ矩阵具有以下性质(2.23a)(2.23b)定义(2.23c)那么：(2.23d)(2.23)式是矩阵的代数性质对协变形式的Dirac方程〔2.22〕取厄米共轭，得：式中，表示对左边的作微分，上式右乘得由于上式改写为(2.24)式中(2.25)定义为共轭旋量，〔1，24〕称为Dirac方程的共轭方程，由Dirac方程和它的共轭方程，按常规做法，可得到守恒定律〔2.26a式中(2.26b)令(2.26c)这一密度是正定的，负几率问题不再出现，这一结果，似乎支持了ρ作为几率密度的解释。实际上,在场的量子化理论中，ρ作为荷密度，並不要求ρ的正定性。可证明，可构成16个线性独立的矩阵：(2.27)它们有性质：〔1，28〕3.Lorentz不变性在Lorentz变换下，设旋量波函数ψ〔x〕作变换设变换后满足的方程与原方程一样〔2，29〕由于那么〔2，29〕式化为：左边乘上假设〔2，30a〕那么上式与原坐标系中的Dirac方程一样，〔2，30a〕可化为：〔2，30b〕即在此条件下，Dirac方程保持Lorentz不变性。对无穷小变换，令：(2.31a)〔2，31b〕将变换算子(2.31a,b)代入条件〔2.30b〕可得：记(2.32)可化为：由此式可解得：称为自旋量，由此变换算子化为〔2，32〕对主动变换，将〔1，33〕及代入(1.40)式，得旋量波函数的主动变换为〔2，33〕式中是Dirac粒子的总角动量，包括轨道角动量和禀自旋动量量。§3自旋为1的有质量矢量场克莱因-戈登方程用一个波函数描述自旋为s=0的中性标量场，自旋为s=1/2的粒子，正反粒子共有4个物理态，用4分量旋量满足的Dirac方程描述，对于S=1的粒子，正反粒子共6个物理态，显然需要6个波函数的方程描述，因此，我们设法寻找6个波函数的方程描述自旋为1的有质量矢量场。1.有质量矢量场的场方程：设有全对称的双旋量=，满足方程〔2.34〕假设将二阶对称的量写成4×4的矩阵，那么矢量场的波函数ψ满足方程〔2.35a〕由于，那么有：〔2.35b〕定义一个C算子满足：C(2.36)C算子具有性质：CC〔2.37〕那么〔2.35b〕式可写为：ψ〔C〕=0即ψC〔2.38a〕由(2.35a)有〔2.38b〕现在，我们将ψC按16个独立矩阵展开：〔2.39〕利用，及矩阵C的〔2.36〕和〔2.37〕式，可以证明上式仅存在和两项：〔2.40〕而且，将〔2.40〕代入〔2.1。35〕有：由于和线性独立，令和的待数等于零，那么得联立方程：〔2.41a〕〔2.41b〕这一组方程称为Froca方程。将〔2.41a〕代入〔2.41b〕得〔2.42〕作用有由于，那么有条件联合〔2.42〕有：〔2.43a〕〔2.43b〕前一式运动方程，后一式是条件。方程组〔2.41〕或方程组〔2.43〕即为矢量场方程组。假设定义：A(2.44a)F(2.44b)即以矢势和标势及场量、定义和，那么矢量场方程可以写为：〔2.45〕显然，后两式含时间导数，是真正的运动方程。注意到当m=0，(2.41)方程化为电磁场方程。(2.46a)方程(2.43)中m=0时化为(2.46b)也是熟知的电磁场方程,但是方程(2.43)是在的条件下推导的，显然不能以m=0为条件从方程(2.43)得出电磁场方程。我们可以利用电磁场的规不变性从(2.46a)导出(2.46b)。由(2.46a)式中设场量作以下变换式中B(x)是任意函数，那么有由于B(x)是任意函数，可选取B(x)满足及那么有及条件即为在Lorentz条件下的电磁场方程(2.46b)2.Lorentz不变性与Dirac方程协变性的讨论一样,在变换下,设,而(2.47)假定变换之前方程组不变:由于,上式即为:假设,由有与原方程组一样.而变换不变的条件是:,.(2.48)矢量场的变换规律与坐标变换规律一样。对无穷小变换:那么将看作列矢量，有对矢量场的变换〔2.49〕式中是三个自旋矩阵，，现在计算的主动变换，依〔2.48〕式的代入〔1.40〕有.〔2.50〕式中是总角动量，如同Dirac场一样，包含有自旋项。这里是自旋为I的自旋量。§4场的正那么描述不同自旋的自由粒子分别用Klein—Gordon方程、Dirac方和Proca方程等微分方程作描述。为了讨论自由场的普遍特性，应该从描述任意系统运动规律的根本原理，即最小作用量原理出发，将各种场的描述纳入统一的形式。最小作用量原理一个力学系统的广义坐标取为，广义速度是。拉格朗日函数〔或称拉格朗日量，简称拉氏量〕是广义坐标，广义速度的函数：〔2.51〕系统的作用量定义为：〔2.52〕一个物理系统实际发生的运动状态是所对应的作用量具有最小值的状态，这就是最小作用量原理,即：〔2.53〕根据这一原理，可导出Euler—Lagrange方程〔2.54〕对多粒子体系对应Euler—Lagrange方程为〔i=1，2，……n〕(2.55)从Euler—Lagrange方程可以过度到哈密顿方程。定义正那么动量：〔2.56〕哈密顿量：〔2.57〕从Euler—Lagrange方程可以推得哈密顿方程〔2.58a〕〔2.58b〕系统运动既可以用Euler—Lagrange方程，也可以用Hamilton方程描述。2．场经典的拉格朗日方程场是物质存在的形式之一，它有粒子所具有的质量、线量、动量等性质，但它是充满全空间，没有不可入性，是一个有无穷自由度的动力学体系。把拉格朗日形式应用於场，关健是如何把经典力学的拉氏形式推广到具有无穷多自由度的系统的场。为便于与经典力学比照，我们可以把场分为无穷多个但可数的小格，把场看作有无穷多但可数自由度的动力系。对于每个小格，认为是一个"实物〞，写出它的拉格朗日方程。为此，选场量是作为场的广义坐标，对于第i个小格，场的广义坐标取为场量在这小格中的平均值〔2.59a〕对应的广义速度是：〔2.59b〕将Eular-Lagrange方程用于这个小格(i＝1,2,……n)〔2.60〕为描述场的运动，分立形式的方程必须取的连续极限，为此，我们引进泛函的概念。泛函是以函数为宗量的函数，其值不依赖于在某点之值，而依赖于在整个定义域之值。假设在每一点有变分，那么泛函的变分是＝〔2.61〕式中，定义为对于在点之值的泛函导数。按〔2.61〕式，假设，那么比照函数的性质知〔2.62〕对于两个函数的泛函，例如拉氏量，我们有(2.63a)另一方面，在分立记号中有＝(2.63b)令〔2.63a〕等同于〔2.63b〕式的连续极限，由于在不同点的变分互相独立，可得到：〔2.64〕其中位于第i个小格中。将〔2.60〕公式作利用〔2.64〕式得场的Eular-Lagrange方程(2.65)这是拉氏量满足的方程。引入拉氏密度函数作进一步的研究，定义：(2.66)L是拉氏函数密度，注意L是的泛函，考虑到作为协变量也应与有关，所以L应为和的泛函L，这样作用量为：由最小作用原理=0由于不变上式化为=0上式最后一项利用四维高斯定理，积分为0，并考虑积分区域的任意性，所以导出(2.67)这就是用拉氏密度函数表示的场的Enlar-Lagrage方程，这一方程，统一的描述了各类的场。例如，设〔2.68〕代入Enlar-Lagrage方程，得标量场的Klein-Gorden方程即氏标量场的拉氏量的一个选择。假设〔2.69〕由〔2.69〕知，方程化为旋量场的Dirac方程即是旋量场拉氏量的一个选择。假设〔2.70〕方程化为矢量场的Froca方程即是矢量场拉氏量的一个选择。4.场的Hamilton的形式现在将场的Lagrange形式过渡到Hamilton形式。还是将场分为无穷多但可数的n个小格，对场中第个小格，选正那么坐标为场函数在小格中的平均值。〔2.71〕共轭动量是〔2.72〕即〔2.73〕式中(2.74)哈密顿量定义为(2.75)即对小格体元令(2.76)那么〔2.77〕体元的Hamilton方程为〔2.78〕取，即过渡到连续情况。定义场变量的共轭动量为：〔2.79〕哈氏量〔2.77〕过度为(2.80a)即〔2.80b〕式中〔2.81〕称为哈氏量密度。由〔2.78〕式，作及所以Hamilton运动方程是,(2.82)这样Lagrange方程等价地可由Hamilton方程(2.82)所代替。5.泊松括号定义泛函和的泊松括号为：〔2.83〕对于泛函的时间微分：代入(2.82)式有：依据泊松括号定义〔2.83〕那么〔2.84〕泊松括号定义〔2.83〕中，假设令，那么即〔2.85a〕同理有〔2.85b〕这是Hamilton方程〔2.82〕的另一表式。同理，还可导出〔2.86a〕〔2.86b〕这些关系式可用于向量子括号过渡。§5对称性与守恒律1.概说对称是一个古老的观念，这一观念来源于自然界存在着对称，如六角形的雪花，对称的叶片，美丽的蝴蝶，人体的左右对称等。在人类生活中，也早已喜爱对称，如古代的有些对称的青铜器，庄重对称的皇宫建筑，对称的诗歌等。生活中的对称是美，是艺术。对称观念应用于科学，最早见于几何学，十九世纪把对称应用于晶体研究，是对称在物理学上应用的一大进步。但是什么是对称，例如问："有多少种移动和转动使晶格不变？〞这些促使数学家提出了群的观念，群的观念是十九世纪数学的一大创造，对数学和物理都有着深刻的影响。对称的科学观念及其重要性是逐步形成的，二十世纪初期，相对论和量子论的发现，使对称性在物理上的应用大为推广，并突显其重要性。物理学中的对称性观念是：物质的状态和运动规律在某一变换下不改变，那么称该状态和运动规律具有这一变换的对称性。也就是说，将所研究的对象称为系统，将系统从一个状态变化到另一个状态称为变换，如果状态在某一变换下不变，即变换后到一个等价的状态，那么这个变换就称为系统的一个对称变换。在物理学中应用对称性的概念，发现了对称性与守恒律的深刻关系，这方面最重要的是Noether的证明。按政道说法，一切对称性的根源在与对于某些根本量的不可观测性。例如绝对空间是不可观测的,坐标原点的选取不影响两个粒子的相互作用能，或者说,坐标原点从A处的0点平移至B处的o’,相互作用位能V不改变,因为两粒子的总动量改变率是力，，它等于零，所以两粒子系统的总动量守恒。这例子说明,由于绝对时空间位置是不可观测量,空间平移这一变换不改变位能,相应守恒量是动量,表1.1列出了局部对称性与守恒律的关系表1.1不可观测量对称性变换守恒定律或选择定那么绝对空间位置空间平移动量绝对时间时间平移能量绝对空间方向转动角动量电荷绝对符号电荷共轭宇称P和n不同的相干混合态之间的差异同位旋电荷不同态之间的相对相位电荷狭义相对论把麦克斯韦方程组的对称抽取出来,变成重要的协变性概念,这是物理学的又一大进步,把电磁场方程对称化,是把实验方程作对称化,先实验后理论，反之假设先理论上确定对称性,后寻找对称化的方程，再由实验验证,这就为物理学的研究提供了有力的武器。设定力学方程必须对称，构建力学协变量,组建力学的协变方程,改造了经典力学,建立了相对论论力学，这是研究最成功的一例。理论物理中,不少研究就是按这个思路，从对称性出发做研究的。爱因斯坦是按照不管坐标怎什么改,方程形式不应该改这一思路,建立了广义相对论。.对称性有两类,一类是时空的对称性,例如时空平移和洛伦兹变换,另一类是部对称性,在场论中,它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的,在不同时空点的场作独立变换,称为规变换,最早发现的定域对称性是电磁场的规对称性。量子力学建立了以后,发现带电粒子与电磁作用的量子理论是一种规不变理论,在这个理论中,运动方程在带电粒子波函数的定域相位变换下保持不变.(电磁场势作用相应变换)。1954年振宁和Mills把电磁场的规理论作了推广,推广到非阿贝尔规,认为定域对称性不只是适用于带电粒子与电磁场的相互作用,这一对称性应当在物质作用的理论中起根本作用,通过一系列的工作，得到一个结论，所有相互作用都是由对称所支配的，这就是振宁所说的："今天得到一个原那么，对称支配作用力〞。对称性在物理中的重要性，振宁1995年在XX大学讲演中给出了的图表见表1.1：表1.1在物理学中，对称性分为四类：〔a〕置换对称性：玻色—爱因斯坦统计和费米—狄拉克统计；〔b〕连续时空对称性：坐标平移、转动等；〔c〕分立对称性：空间反射、时间反演、正反粒子共轭等；〔d〕幺正对称性：与电荷守恒、同位旋守恒等联系的对称性。对称性显示了物质世界的统一性，反映了不同物质形态在运动中的共性。不对称性显示了物质世界的多样性。对称性依赖于不可观测量，一旦一个不可观测量被证实是可观测的，这就产生了对称破缺，最著名的例子是左右对称的宇称守恒，1957年，政道、振宁的理论，吴健雄的实验，证明在弱作用下，左右是不对称的。"绝对的左〞可观测。宇称不守恒。这说明，不仅有对称，也有稍微的不对称，今日的对称，明日又可能是不对称的。2.Norther定理：为了研究场系统在对称变换下的对称性。我们利用Lagrange的一个根本性质证明，使拉氏量密度保持不变的连续对称性变换产生守恒定律，由此可以确定运动常数。Norther定理的证明如果作用量s在关于时空坐标和场量的某种连续变换下是不变的，那么一定存在着守恒律和守恒量。这就是Norther定理。假定，在坐标的无穷小变换：〔2.87a〕及相应的场量变换：〔2.87b〕的联合变换下，作用量保持不变：〔2.88〕那么有连续性方程：〔2.89〕式中〔2.90〕是守恒流，〔2.91〕是能量动量量，守恒量为〔2.92〕这就是Norther定理得数学表示。证明如下：在无穷小变换下，作用量变分：〔2.93〕因为式中J是Jaccobi变换因子。在无穷小变换〔2.87a〕下(2.94)那么(2.93)化为：(2.95)式中将分解为两局部，(2.96)式中(2.97)(2.98)这里依〔2.38〕式,即(2.99)将〔2.96〕—〔2.98〕代入〔2.95〕有即得〔2.89〕至〔2.91〕式，Norther定理得证。守恒量易于证明。有因为，有▽所以▽即G是守恒量。3.时空平移和能量动量守恒应用Norther定理，讨论几种变换和相应的守恒量。时空平移是：是无穷小常数，在时空平移下，由于时空的均匀性，场函数不变即时空平移条件是：，〔2.100〕将这个条件代入表式(2.90)，时空平移下的守恒流为〔2.101〕的表式是〔2.91〕，所以守恒律是：相应的守恒量是〔2.102〕当时：〔2.103〕式中是Harmiton量密度，即 (2.104)这是能动量的第四分量，所以守恒量的第四个分量是能量当 (2.105a)即 (2.105B)这是空间局部的守恒量，应该认为是场的动量，所以守恆量是 (2.106)是四维能量动量守恒。所以从物理观点看，时空平移下的不变性说明场系统与所加的外源之间没有能量动量交换。时空平移的不变性可以认为是绝对时空位置是不可观察量。绝对空间位置的不可观察，在空间平移的对称性变换下，动量守恒。绝对时间的不可观察在时间平移的对称变换下，能量守恒。5．时空旋转与角动量守恒在时空旋转下(2.107)场量作相应的无穷小变换(2.108)即时空旋转的条件是(2.109)式中是无穷小量，是自旋量。(自旋为0) (自旋为1/2)(自旋为1)(2.110)将(2.109)代入表式的(2.111)由于满足反对称条件有(2.112)那么有守恒律式中守恒量是(2.113)取为，守恒量为〔2.114〕式中所以利用的定义〔2.99〕式，可知可表示为〔2.115〕令〔2.116〕式中〔2.117〕是三维空间的轨道角动量，〔2.118〕是场的部空间的自旋角动量。即在空间旋转变换下体系的总角动量守恒。这就说明，空间的绝对方向是不可观测量，在转动的对称变换下，角动量守恒。6.部对称性研究所谓的部对称性，即假定坐标不改变，场量作变化，将有什么物理量守恒。作为例子，讨论复标量场的相变换，即(2.119)在无穷小变换下(2.120)相变换的条件是将这个条件代入表示式，注意到，现有两个场量，所以即(2.121)守恆量是(2.122)这一守恆量称为场的"荷〞，这一不变量所对应的是什么物理量，由因子作选择，例如选为电荷，是电荷Q守恆。因为电荷不同态之间的相位是不可观察量，在相变换下，电荷量守恆。第三章标量场研究场和粒子的性质、相互作用和相互转化规律及粒子的部构造规律，必须通过对场的相互作用进展研究，因为任何粒子的产生、湮灭和相互转化都是通过粒子的相互作用进展的。但是从研究的方法上看，应该是从简单到复杂，首先简单的把粒子近似认为是"自由〞的，即先不考虑它与其他粒子的作用，研究它们各自的特性，然后再进一步研究复杂的粒子间的作用。"自由〞粒子相应于自由量子场，从本章起研究三种自由场，分别是标量场、旋量场、矢量场和电磁场。§1标量场的量子化场量子化的根本思想场和粒子是物质存在的两种根本形式，作为物理系统，粒子系统是具有有限自由度的，但场是由场变量描述，空间不同点的场量可以看作是相互独立的运动学变量，因而场是具有连续无穷维自由度的系统。但是，不管系统是具有有限自由度，还是具有连续无穷维自由度，都适用最小作用量原理，因而场或粒子体系的运动方程都可用最小作用量原理推导，即对场和粒子都可作正那么描述。对场系统进展量子化，关键在于选取什么物理量〔c数〕作为量子化的算符〔Q数〕，它们满足什么运动方程，引进什么样的量子化条件，即算符应遵从什么样的对易规那么。对无穷维自由度的场，为便于应用正那么化方法，我们把它分成数目有无穷多的小格，但小格数目是可数的，对于第n个"格元〞，设体积为，场变量在这小格中的平均值是：〔3.1〕我们选定作为场的广义坐标，相应场的广义速度是：〔3.2〕场的拉氏量是：〔3.3〕式中拉氏量的密度是点的和及邻域的及的泛函，即= 〔3.4〕场的共轭动量是〔3.5〕为了对小格进展量子化，我们选定广义坐标、广义速度、广义共轭动量作为算符。应用量子力学规律，将泊松括号过度到量子括号量子场算符满足以下对易关系〔3.6〕这些对易关系就是量子化规那么。正那么运动方程是：〔3.7〕为了把可数的无穷多个分立的小格过渡到连续的场，作并令。利用〔3.8〕于是场的量子化规那么写为〔3.9〕正那么运动方程是〔3.10〕量子场的性质由场算符的正那么运动方程和对易关系决定。2.实标量场的量子化 最简单的自由场量是只有一个场变量的场。设是实标量或实赝标量。这个场变量只有一个时空分量，它所能描述的粒子的自旋必须是零。例如介子、介子等。对宇称为正的粒子用实标量描述，宇称为负的粒子，如，用赝标量描述。自旋为0的粒子满足Klein-Gordon方程〔3.11〕拉氏量密度为：(3.12a)哈氏量密度为：〔3.12b〕动量是：〔3.13〕我们选场变量及共轭动量作为场量子化的算符。那么，在坐标空间中，方程〔3.10〕和对易关系〔3.9〕原那么上解决了实标场的量子化问题。即标量场的正那么运动方程是〔3.14a〕场的量子化规那么写为〔3.14b〕例如：结合对易关系，对能量动量算符的本征方程求解：式中是动量能量的本征值，对本征方程求解后，实标量场的量子化问题原那么上己解决。这是在坐标空间进展量子化，以空间点作为自由度参数分析量子标量场的物理容。场方程〔3.11〕有平面波解：〔3.15a〕和〔3.15b〕我们将场量用平面波解的完备集展开〔3.16a〕对实标场，显然要求：，即〔3.16a〕改写为〔3.16b〕共轭动量，即展开式为：〔3.17〕这样在坐标空间用场变量及共轭动量作为场量子化的算符描述的标量场，可用在动量空间的算符来描述。可以证明，的对易关系是：〔3.18〕这一关系式的证明，可利用坐标空间的对易关系式〔3.14b〕及从〔3.16〕及〔3.17〕求得的表示式加以证明。现在，我们把〔3.18〕式的证明倒过来做，即假定〔3.18〕式正确，然后证明和的对易关系〔3.9〕式成立。由〔3.16〕和〔3.15〕式有：由(3.18)式,上式化为当,可将普及动量的求和用积分代替(3.19)又：(3.20)那么可导出(3.21)可见(3.9)式成立,这就证明了的对易关系(3.18)正确。现在求动量空间中能量动量的表式，的表式〔3.12b〕，可改写为〔3.22〕将的表式〔3.17〕和由此式求得的，代入上式并作积分，可得〔3.23〕利用〔3.18〕，得到〔3.24〕式中〔3.25〕H中的是一个无穷大常量，称为零点能，以后将看到，通过适当理论处理可以去掉，那么〔3.26〕类似计算，可求得动量为〔3.27〕式中，由于和相抵消，零点动量为零。〔3.26〕和〔3.27〕说明，场的能量和动量是以算子为表征的无穷和来表示的。现分析，H和有没有共同的本征函数。依据量子力学，如果两个算符对易，那么这两个算符有组成完全系的共同本征函数，由于说明H和有共同的本征函数。注意到能量的〔3.26〕表示与谐振子的能量表式一样，设表示一个具有本征值的本征态，即〔3.28〕这就是的本征方程，它与对易关系〔3.18〕，描述了场在动量空间的量子化。3.粒子解释将场在动量空间量子化的表式〔3.28〕和〔3.18〕与谐振子量子化的表式〔1.17〕和〔1.20〕比照，可以看出量子场的本征问题的求解与谐振子的量子力学问题数学形式完全一样，这样，是否可以把量子场理解为一系列简谐振子的组合呢？注意到，量子场与谐振子的能量是一样的，但简谐振子的动量是，与场的动量不同，而某一动量为的场的能量和动量是〔3.29〕这恰恰是粒子的能量和动量。因而场的能量和动量表式〔3.26〕和〔3.27〕，说明量子场不是一系列简谐振子的组合，而是一系列动量为的粒子的集合。谐振子的量子化与量子场的量子化只是本征方程的数学形式一致，可将谐振子本征问题的结果应用于量子场，但应将场解释为粒子的集合。这样，各个物理量的的意义是：描述一个由粒子组合的标量场；是粒子数算符，代表动量为的粒子的数目，其本征值为是正整数；是粒子的产生算符，产生一个动量为的粒子；是粒子的湮灭算符，湮灭一个动量为的粒子。是场的真空态，是没有激发粒子的场的本征态，〔3.30〕具有动量为的个粒子的态表示为〔3.31〕式中表示共有个的作用。具有个动量为的粒子，个动量为…的粒子态表示为〔3.32〕4.连续动量空间中的表示场量按平面波〔3.15〕展开，动量是分立的，是按傅立叶级数展开，将分立的过渡到连续k，是将作傅立叶积分:(3.33)式中,是粒子的动量，是粒子的能量。共轭动量是〔3.34〕在动量空间的算符是k的连续函数。从分立的级数求和到连续的积分可作以下替代而得：在连续动量空间和的对易关系是〔3.35a〕〔3.35b〕场的能量和动量，不计零点能后，结果是〔3.36〕式中。从表式〔3.36〕可见：是动量在之间的粒子数。而是单位动量空间体积动量为的粒子数算符。类似于分立动量空间的分析得知：是单位动量空间体积产生一个动量的粒子的算符；是单位动量空间体积湮没一个动量的粒子的算符。为方便讨论，现将〔3.33〕式分写为两项之和〔3.37〕式中〔3.38〕〔3.39〕可解释为在x点单位体积产生〔湮灭〕一个粒子的算符。不过，这时产生或淹没的粒子动量是完全不确定的，这说明符合测不准原理。和可称为场量的正频和负频局部。5.介子的玻色统计性现在我们证明实标量场服从玻色—爱因斯坦统计。我们知道，作为玻色子的标量粒子，粒子是不可分辨的且每个态上占据的粒子数不限。由〔3.32〕式知，量子标量场的正交归一的本征态矢一般可写为：〔3.40〕这是存在n个动量为的粒子的态。假设交换和，由于所有产生算符对易，有：(3.41)即交换任意粒子后，状态一样。所以标量粒子是在运动中不可分辨的全同粒子。从〔3.31〕式，量子标量场允许有本征态：(3.42)这里，同一个动量为K的粒子数可以取任意数目，即每个态上占据的粒子数不限。另外，玻色子组成的系统的波函数，对于其中任意两个粒子的置换，波函数应是对称的。设量子场的一般性物理态为：〔3.43〕式中是物理态中n个粒子的动量空间波函数。〔3.44〕结合〔3.35〕和〔3.44〕式，可知〔3.45〕即标量场粒子系统的波函数对粒子的交换的对称的。由上述讨论可见，为反映玻色子服从玻色—爱因斯坦统计的性质，对易关系应采取〔3.35〕式。.§2复标量场的量子化实标量场用一个场变量可描述不带电的自旋为零的粒子，对于荷电标量粒子，如，可用复标量描述。取场函数为和，且，即用两个独立场变量描述带正、负电的标量粒子，复函数的和满足Klein—Gordon方程：〔3.46a〕〔3.46b〕对复标量场，取拉氏量密度为：〔3.47〕那么场的共轭动量为：，〔3.48〕复标场的能量和动量是：〔3.49〕〔3.50〕用常规方程，可推导出〔3.51〕式中〔3.52〕物理量〔3.53〕是场的总电荷。将场的量子化推广到复标量场的量子化是很直接的。取、和、作为场量子化的算符，那么量子化准那么是〔3.54〕场的其它对易子为零量子复标量场的的运动方程是(3.55)我们可以将复数场量用实厄米场算子和组建(3.56a)即(3.56b)这样，等价地可用两个独立的实厄米算子和来进展运算。那么可以将实标量场量子化的结果推广到复场情况。令有(3.57)同理有(3.58)场的共轭动量是(3.59)(3.60)在复标量场的动量方向,,,是场的力学变量.由实标量,的对易关系可知。复标量动量空间的对易关系是：〔3.61〕标场的能量和动量，计算后,去掉零点能是〔3.62〕式中，〔3.63〕场的电荷表式为〔3.64〕用分析实标场同样的方法可知：是动量在之间的带正、负电的粒子数算符。分别是在单位动量空间体积产生和湮没一个动量为的带正电的粒子的算符。分别是在单位动量空间体积产生和湮没一个动量为的带负电的粒子的算符。(3.64)式把Q解释为场的总电荷，它是守恒量。也可把〔3.57〕和〔3.58〕式分解为坐标空间中正、负介子的产生和湮没算符。〔3.65〕这里(3.66)是在x=〔x,t〕点的单位体积产生一个正介子的算符；〔3.67〕是在x点的单位体积湮没一个正介子的算符；〔3.68〕是在x点的单位体积产生一个负介子的算符；〔3.69〕是在x点的单位体积湮没一个负介子的算符；§3介子的同位旋介子有带正电的、带负电的和不带电的，自旋宇称都是。和的质量是139.57Mev，的质量是134.97Mev。如果不考虑电磁质量，可认为三种介子具有一样的质量。由于在强相互作用中核力与电荷无关，在参与强相互作用中，、和可认为是一样的粒子，只是电荷状态不同，也就是说，可把它们视为介子的三种不同电荷状态。于是引入一个抽象的电荷空间的量子数，称为同位旋，它的分量描述不同的电荷态。那么在强相互作用中，同一个同位旋多重态的粒子如、、对强相互作用具有一样的性质，这可认为是强相互作用在同位旋空间的转动中具有不变性。现在对三种介子作统一的描述。用实数场作为的场量。而荷电介子可用二个实数场和作为场量。将三个场量作为一个在电荷空间的矢量的分量：〔3.70〕那么场的拉氏量应是〔3.71〕即.〔3.71b〕〔3.72〕共轭场量的对易关系为其余对易关系为零。〔3.73〕场的运动方程是〔3.74〕场的能量和动量是〔3.75〕〔3.76〕现在考虑在抽象的三维空间作一转动，对无穷小变换：即设拉氏量在这个转动变换下具有不变性，即，那么利用方程可得守恒律方程：〔3.77〕式中〔3.78〕相应守恒量是〔3.79〕引入自旋矩阵那么守恒量是〔3.80〕这里将写成列矩阵：假设令二个矢量和：，，，，〔3.81〕那么〔3.80〕化为〔3.82〕称为同位旋，由〔6.82〕可写为〔3.83〕利用、的对易关系〔6.82〕和的对易关系，可以证明〔3.84〕即的对易关系与角动量的对易关系在数学上形式一样，所以电荷空间的与普通空间的角动量可以类比，同位旋的许多结论可从角动量的理论得到。§4协变对易关系场量子化中场量的对易关系，是等时对易关系，对易子不含时间。显然时空的不对称是不可能符合协变性要求的。因为是一个Lorentz标量，可以预计(3.85)应是一个Lorentz不变函数，将的表式〔3.16b〕代入利用对易关系〔3.18〕，可得

作过渡有(3.86)即(3.87)令(3.88)(3.89)那么有(3.90)通过计算可知：(3.91)(3.92)现在将改为四维实积分形式，由(3.86)式(3.93)其中,,(3.94)利用-函数公式引用阶梯函数那么有：所以由(3.93)式有：(3.95)(x)也可用复平面上的回路积分表示。由〔3.88〕式图3.1在复k0平面中。如图3.1所示，ω是一个奇点，有积分即所以式〔3.88〕式用回路积分表示为〔3.96〕同理有〔3