高考数学（北师大版理科）一轮复习攻略核心考点精准研析9-5空间直角坐标系空间向量及其运算

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析考点一空间向量的线性运算

1.在空间四边形ABCD中,若=(3,5,2),=(7,1,4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________________.

3.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点.用AB,AD,AA1表示OC1,则为正四面体ABCD外接球的球心,则=x+y+z,x,y,z分别是 ()A.14,14,14 B.13C.12,12,12 D.13【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,所以=,=12(+),=12(+).所以=12(+)12(+)=12(+)=12=122.设M(0,y,0),则MA=(1,y,2),MB=(1,3y,1),由题意知|MA|=|MB|,所以12+y2+22=12+(3y)2+12,解得y=1,故M(0,1,0).答案:(0,1,0)3.因为OC=12AC=12(AB+AD),所以OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+答案:12AB+14.选A.取BC的中点M,△BCD的中心为O,则=34,=13+23,=12+12,=14+14+14,即x=y=z=14.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用

【典例】1.已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 ()A.627 B.637 C.6472.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线. 导学号【解题导思】序号联想解题1因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值.2要证B,G,N三点共线,只要证BN=λBG即可,想到选择恰当的基向量分别表示BN和BG.【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,所以2x-y=7,2.设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA+AG=BA+34AM=a+14(a+b+c)=34a+14bBN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=a+13b+13c=43BG.所以BN∥BG证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面PA=λPB且同过点PMP=xMA+yMB对空间任一点O,OP=OA+tAB对空间任一点O,OP=OMxMA+yMB1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知AB=e1ke2,CB=2e1+e2,CD=3e1e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 ()【解析】选A.BD=CDCB=e12e2,又A,B,D三点共线,设AB=λBD,所以1=λ-k2.如图,已知平行六面体ABCDA'B'C'D',E,F,G,H分别是棱A'D',D'C',C'C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.【证明】取ED'=a,EF=b,EH=c则HG=HB+BC+CG=D'F+2ED=ba+2a+12(AH+HE+EA'=b+a+12(baca)=32b1所以HG与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.考点三空间向量的数量积及其应用

命题精解读1.考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.2.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.学霸好方法1.(1)利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0;②|a|=a2③cos<a,b>=a·2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题.空间向量的数量积运算【典例】1.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·= () B.12 122.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2)且ka+b与2ab互相垂直,则k=___________. 导学号

【解析】1.选D.·=12·=12=12122.由题意得,ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2).所以(ka+b)·(2ab)=3(k1)+2k2×2=5k7=0,解得k=75答案:7数量积的应用【典例】已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标. 导学号【解析】(1)由题意可得:AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=AB=-2+3+614×14=714=12,所以sin<所以以AB,AC为边的平行四边形的面积为S=2×12|AB|·|AC|·sin<AB,AC>=14×32=7(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x=1,所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1,1,1).1.已知向量a=(1,0,1),则下列向量中与a成60°夹角的是 ()A.(1,1,0) B.(1,1,0)C.(0,1,1) D.(1,0,1)【解析】选B.经检验,选项B中向量(1,1,0)与向量a=(1,0,1)的夹角的余弦值为12,即它们的夹角为2.如图所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长.(2)求证:AC1⊥BD.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.【解析】(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=12||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12所以||=6,即AC1的长为6.(2)因为=a+b+c,=ba,所以·=(a+b+c)·(ba)=a·b+b2+b·ca2a·ba·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a||c|cos60°=0.所以⊥,所以AC1⊥BD.(3)=b+ca,=a+b,所以||=2,||=3,·=(b+ca)·(a+b)=b2a2+a·c+b·c=1.所以cos<,>=