2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　随机变量 学案

§2离散型随机变量及其分布列2.1随机变量课标要求1.通过具体实例，了解随机变量的概念.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.能列出随机变量的取值所表示的事件.素养要求通过随机变量的概念和随机变量取值所表示的事件，提升数学抽象和逻辑推理素养.1.思考下述现象有哪些共同特点？①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…，10中的某一个数；②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数；③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数.提示上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.2.填空在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.温馨提醒用数值表示试验的结果，表示试验结果的数值具有随机性.3.做一做(1)给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是()A.1 B.2C.3 D.4答案D解析由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是()A.Y＝5 B.Y＝4C.Y＝3 D.Y＝2答案B解析由题意可知遇到第5盏信号灯时首次停下，说明已通过4盏信号灯，所以Y＝4，故选B.题型一随机变量的概念例1判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；(3)体积为8cm3的正方体的棱长.解(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量.(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量.(3)正方体的体积确定则棱长为定值，不是随机变量.思维升华随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.训练1指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)某人射击一次命中的环数；(2)甲，乙两支足球队比赛出现的结果；(3)某个人的属相随年龄的变化.解(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量.(2)两支足球队比赛，出现的甲赢，甲平，甲负三个结果是随机的，因此是随机变量.(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量.题型二用随机变量表示事件例2写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.解(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7.{X＝3}表示“取出标有1，2的两张卡片”；{X＝4}表示“取出标有1，3的两张卡片”；{X＝5}表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；{X＝6}表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；{X＝7}表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”.迁移1若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？其中Y＝2表示什么含义？解Y的所有可能取值有1，2，3.{Y＝2}表示“取出标有1，3或2，4的两张卡片”.迁移2甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.解根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.{X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”.{X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”.{X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”.{X＝7}表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”.思维升华解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.训练2写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)某市医院明天接到120急救电话的次数X.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量.解(1){X＝i}，表示接到i次急救电话，i＝0，1，2，….(2)随机变量X可