静力学(全套课件)

1静力学基础§1-2静力学公理§1-3约束和约束力§1-4研究对象和受力图§1-1静力学中的基本概念2§1-1静力学中的基本概念1.1.1力的概念力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体发生变形。前者称为力的运动效应或外效应；后者称为力的变形效应或内效应。1.力的三要素力对物体作用的效应，决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点；这三个要素称为力的三要素。AF32.等效力系(1)力系。作用在物体上的若干个力总称为力系，以（F1,F2,…,Fn)表示。(2)

等效力系。作用于物体上的一个力系可用另一个力系代替，而不改变原力系对物体作用的外效应，以（F1,F2,…,Fn)~,(F1′,F2′,…,Fm′)表示，图形如下表示。F1F2FnF1′F2'Fm′41.1.2刚体的概念任何物体在力的作用下，其上任意两点间均将产生相对运动，使其初始位置发生改变，称之为位移(Displacement)，从而导致物体发生变形(Deformation),当其变形微小而可被忽略时，将其抽象为刚体。静力学

——研究物体在力系作用下平衡规律的科学。刚体静力学——研究刚体在力系作用下的平衡问题。平衡——物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。51.1.3平衡条件与平衡力系要使物体处于平衡状态，作用于物体上的力系必须满足一定的条件，这些条件称为力系的平衡条件；作用于物体上正好使之保持平衡的力系则称为平衡力系。1.1.4刚体静力学研究的基本问题1.受力分析——分析作用在刚体上的各种力，弄清研究对象的受力情况。2.平衡条件——建立物体处于平衡状态时，作用在物体上的力系应满足的条件。3.利用平衡条件求解未知力，以解决工程中的相关问题。6§1-2静力学公理公理1二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：这两个力等值，反向，共线。二力构件（二力体）只受两个力作用而处于平衡的物体。如果二力构件是一根直杆,则称为二力杆。F1F2F1F27公理2加减平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用效应。力的可传性原理：F2ABFAB..FABF1F2··8公理3力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，其合力也作用在该点上，合力的大小和方向则由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，而该两个力称为合力的分力。FR=F1+F2FRF1F2FRF1F29公理4作用与反作用定律

两物体间相互作用的力，总是大小相等，指向相反，且沿同一直线。FT'PPFT10§1-3约束和约束力1.3.1约束的概念1.自由体与非自由体

在空间能向一切方向自由运动的物体，称为自由体。如飞鸟等。

当物体受到了其他物体的限制，因而不能沿某些方向运动时，这种物体为非自由体。如轨道等。2.约束

限制非自由体运动的物体是该非自由体的约束。P约束被约束物体113.约束力约束施加于被约束物体上的力，如下图中的力FT。4.约束力的方向

与约束所能限制被约束物体的运动方向相反，如上图中的力FT的方向。PPFT121.3.2工程中常见的约束1.柔体约束2.光滑面约束PAAPAAFNAFTPAAP133.光滑铰链约束（平面铰链）（空间球形铰）

AFAx

FAy

FAx

FAyA

z

y

xFAyFAxFAzA14(平面固定铰支座约束)(活动铰支座)154.轴承约束A(滑动轴承)

A(止推轴承1)FAz

FAxAxyz

z

y

x

FAxFAy

FAzA165.固定端约束B(止推轴承2)AFAxAFAyMAFBzFByFBx

z

y

xB(平面问题)

17§1-4研究对象和受力图

对物体进行受力分析是静力学计算（如求解约束力）中最重要的一步，也是动力学计算（求解物体受力与运动状态变化间的关系）中的重要环节。1.受力分析方法将物体从约束中隔离出来，将约束对它的作用代以相应的约束力，即取隔离体，画受力图。18(2)画出研究对象所受的力，明确每个力是哪个施力体施加的。(3)根据约束性质画约束力。(4)考虑平衡条件，判断某些约束力的方向。(5)注意作用力与反作用力的关系。2.画受力图的步骤(1)明确（选择）研究对象，并将研究对象从它周围的约束中分离出来，单独画出其简图。19

如下图梁AB，

分析AB梁的受力情况并作出它的受力图。例题1-1解

F

ABl300FBFAyFAxAB

y

300x

F20

用力F

拉动碾子以轧平路面，重为P

的碾子受到一石块的阻碍，如图所示。试画出碾子的受力图。FABP例题1-221

解：碾子的受力图为:例题1-2ABFPFNAFNBFABP22

在图示的平面系统中，匀质球A重P1，物块B重P2,借其本身重量与滑轮C和柔绳维持在仰角是q

的光滑斜面上。试分析物块B,球A的受力情况，并分别画出平衡时它们的受力图。CGBHEP1AKDP2q

例题1-323BD解：1.物块B

的受力图。P2FD例题1-3CGBHEP1AKDP2q

24AEKP1FKFE2.球A

的受力图。

例题1-3CGBHEP1AKDP2q

25

等腰三角形构架ABC的顶点A，B，C都用光滑铰链连接，底边AC固定，而AB边的中点D作用有平行于固定边AC的力F，如图所示。不计各杆自重，试画出杆AB和BC的受力图。BCAFD例题1-426解：1.杆BC

的受力图。BC

杆两端B、C为光滑铰链连接，当杆自重不计时，根据二力平衡公理知B、C两处的约束力FB、FC

必是沿BC且等值反向。例题1-4BCAFDFBFC

工程中有时把二力杆作为一种约束对待。272.杆AB

的受力图例题1-4BDAFFAxFAyFBFBFCBCBCAFD28

如图所示，梯子的两部分AB和AC在A点铰接，又在D，E两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在H点处作用一铅直载荷F。试分别画出梯子的AB，AC部分以及整个系统的受力图。例题1-5FABCDEH29

1.梯子AB

部分的受力图。解：例题1-5ABDFAyFAxFBFFABCDEHH30

2.梯子AC

部分的受力图。

ACEFC例题1-5FABCDEHABHDFAyFFAxFB31

3.梯子整体的受力图。

ABCDEHFFBFC例题1-5FABCDEH32

如图所示，重物重为P

,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试画出杆AB和BC以及滑轮B的受力图。ABDCP例题1-6332.杆BC

的受力图。解：1.杆AB的受力图。例题1-6ABDCPABFABF'ABFCBBCF'CB34BF2F1FBCFBA

4.滑轮B(带销钉）的受力图。3.滑轮B(不带销钉）的受力图。例题1-6F2F1DFBxFByABDCP35练习1-1

作下图梁AB的受力图。lABF36解:练习1-1FAyFAxxABFFBy平面汇交力系§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法F2F1FnO平面汇交力系的定义：

各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系。本章研究的两个问题：

平面汇交力系的合成（简化）和平面汇交力系的平衡。几何法和解析法。研究方法：§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法1.合成FR=F1+F2+F3FR=F1+F2+…+FnF2F3F4F1F1F2F3F42.平衡平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即(1)

FR=0;(2)在几何法中，合力为零即为力多边形自行封闭。3.三力平衡汇交定理

若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同一点，而且共面。F1F2F12F3OF12=F1+F2

利用三力平衡汇交定理确定铰A处约束力的方位。例题2-1FAB2m3mCFCBFRAFRBA解

试指出图示各力多边形中，哪些是自行封闭的？哪些不是自行封闭的？如果不是自行封闭，哪个矢量代表合力？哪些矢量代表分力？思考题2-1

水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。A60ºFB30ºaaC例题2-2EFFBFA60º30ºHK

解：1.取梁AB作为研究对象。

FA

=17.0kNFB=10kN2.画出受力图。3.作出相应的力三角形。FBFADC60º30ºFBA4.由力三角形中量出：例题2-2§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法1.力在坐标轴上的投影yxOABab图(a)平行光线照射下物体的影子图(b)力在坐标轴上的投影b1a1OyxBAabFFxFyFxFy

由图知，若已知力

的大小为F

及其与x轴、y轴的夹角为a、b，则即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐标轴上的投影是个代数量。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab

而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解，则所得分力Fx、F

y

的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。b1a1OyxBAabFFxFyFxFy

试分析在图示的非直角坐标系中，力F

沿x、y轴方向的分力的大小与力F在x、y轴上的投影的大小是否相等？思考题2-2OxyF式中cosa

和cosb

称为力F

的方向余弦。注意:

力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab2.合力投影定理合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。OxyF1F2FRabcABC同理3.合成xOyFRxFRyFRF1F2Fna4.平衡xOyFRxFRyFRF1F2Fna即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。

由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。

重物质量m

=10

kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。例题2-3yxBmgFCB30。FAB45。ABC6045。。∑Fx=0,-FCB

cos30o+FABcos45o=0∑Fy=0,-mg+FCB

sin30o+FABsin45o=0FAB=88.0N，

FCB=71.8N。

解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程联立上述两方程，解得：例题2-3yxBmgFCB30。FAB45。

由于求出的FAB和FCB都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即BC杆承受拉力，AB杆承受压力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方向相反。例题2-3ABC6045。。yxBmgFCB30。FAB45。为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中

图(b)

这样建立坐标系FT

和FN相互耦合OPFTFNxy注意：30

OP图(a)yOPFTFNx∑Fx=0,FT－P

·sin30=0。图(c)可求得FT思考题2-3

重量为P

的钢管C搁在斜槽中，如图所示。试问平衡时是否有FA

=

P

cosq，FB

=

P

cosq

？为什么？FA

=

FB=P/2

cosq

如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。例题2-4ABDCP列平衡方程解方程得杆AB和BC所受的力:

解：取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，设AB受拉，BC受压，受力图及坐标如图。xyBFABF2F1FBC显然，F1=F2=P例题2-4ABDCP求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：(1)弄清题意，明确已知量和待求量；(2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体；(3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力，二力构件等）；(4)合理选取坐标系，列平衡方程并求解；(5)对结果进行必要的分析和讨论。练习2-1

如图所示结构中，AC和BC两杆用铰链C连接，两杆的另一端分别铰支在墙上。在点C悬挂10kN的物体。已知AB=AC=2m，BC＝1m。如杆重不计，求两杆所受的力。练习2-1解：选销钉C为研究对象，其受力如图所示，其封闭力三角形与ΔABC相似，由(压)

(拉)

§3-1力矩的概念和计算§3-2力偶的概念§3-3平面力偶系的合成与平衡力矩与平面力偶系力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。主要研究内容：

(1)力矩和力偶的概念；

(2)力偶的性质；

(3)平面力偶系的合成与平衡。§3-1力矩的概念和计算1.力对点之矩(1)用扳手拧螺母；(2)开门，关门。由上图知，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小有关，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积F·d来度量力的转动效应。

该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示,即O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。力矩的单位：N·m，kN·m应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以用代数量表示。力矩的性质：(1)力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；.OFd

(2)力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；(3)互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。Fo..F1F2O2.合力矩定理表达式：证明：由图得而OxydxyFFxFyAaqa-qr则(a)

若作用在A点上的是一个汇交力系（F1、F2、…Fn）,则利用式(a)可将每个力对O点之矩相加，有由式(a)，该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心O的矩为比较(b)、(c)两式有(a)(b)(c)§3-2力偶的概念1.力偶和力偶矩(1)力偶的概念

把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用图(a)表示,例如：双手操纵方向盘,如图(b)。FF′d力偶臂力偶作用面图(a)F1FF′ABF1′CD图(b)(2)力偶的性质(a)力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；(c)力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。xFF′d力偶臂力偶作用面(3)力偶矩

力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。FFd

Ox例如：(4)力偶的三要素(a)力偶矩的大小；(b)力偶的转向；(c)力偶作用面在空间的方位。2.平面力偶等效定理

定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。例如：双手操作方向盘。F1FF′ABF1′CD

设有一力偶

(F,

F′),如图所示。运用加减平衡力系的公理并注意到：证明：两个重要推论：推论1力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对刚体的转动效应。ABMABMC推论2在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。其中

F1d1=F2d2ABd1F1F1ABd2F2F2§3-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。1.合成(1)两个力偶的情况F1′F1d1d2F2′F2=F11′F22′F22F11ddFR′FR=这样得到新的力偶(FR,FR′),则M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2

(2)任意个力偶的情况M=M1+M2+…+Mn,或M=∑MiM1M2Mn2.平衡条件

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑M=0利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。M1M2Mn

两力偶作用在板上，尺寸如图。已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。解：由式M=M1+M2

则M=-F1·0.18–F3·0.08=-350N·m负号表明转向为顺时针。例题3-1180mmF1F2F3F480mm

长为l=4m的简支梁的两端A、B

处作用有两个力偶，大小各为M1=16N·m，M2=4N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。

解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B

处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA，FB）才能与之平衡。例题3-260

4mABM1M2M1M2ABdFAFB由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60º=0解得故FB=6NFA、FB为正值，说明图中所设FA、FB的指向正确。FA=FB=6N例题3-2M1M2ABdFAFB60

4mABM1M2－16+4+FB4cos60=0

如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30°，不计各杆自重，试求M1和M2之间的关系。BODqM1M2A例题3-3

解：因为杆AB为二力杆，故其约束力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。

分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA

，且与其方向相反。例题3-3BODqM1M2ABDM2FDFBAOM1FOFABA因为所以求得分别画出受力图。写出杆OA和DB的平衡方程：

∑M=0BODqM1M2A练习3-1力偶对刚体产生下列哪种运动效应：【】A、既能使刚体转动，又能使刚体移动B、与力产生的效应，有时可以相同C、只能使刚体移动

D、只能使刚体转动D练习3-2一正方形薄板置于光滑的水平面上，开始时处于静止状态。当沿正方形的四边作用如图所示的大小相等的四个力后，则薄板：【】A、仍保持静止B、只会移动C、只会转动D、既会移动又会转动C练习3-3刚架上作用着力F，分别计算力F对A点和B点的力矩。FCDABaba练习3-3解：F对A点的力矩MA(F)=Fbcosa得FCDABabaFBFAyFAxF对B点的力矩MB(F)=Fbcosa-Fasina得平面一般力系§4-5平面平行力系的平衡条件§4-6物体系统的平衡问题§4-3分布荷载§4-4平面一般力系的平衡条件§4-2平面一般力系向一点简化§4-1力线平移定理前言平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。前言工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。F1FnF2

图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力所组成的力系;可简化为平面一般力系。(a)(b)图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座约束力所组成的力系可视为一个平面一般力系。(a)PFAyFBy(b)P§4-1力线平移定理定理：

作用在刚体上某点的力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F

对平移点之矩。

证明如下图所示：(a)ABdFF′ABdFF″(b)BdF′AM=Fd(c)可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。(a)ABdFF′ABdFF″(b)BdF′AM=Fd(c)如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若力的作用线与球相切——“削球”，则球将产生移动和转动。CF(a)CF(b)F'CM思考题4-1

用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应有何不同？(a)rO1FrO1F/2F/2(b)§4-2平面一般力系向一点简化设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,…,Fn,如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。

应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移,再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。F1F2Fn平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR′（合力）MO（合力偶）(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2′OF1′Fn′M1M2Mn(c)OyxMOFR′(d)(4-1)事实上，可直接用原力系F1，F

2，...F

n

的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。(4-2)由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。平面一般力系的三种简化结果：1.力系简化为合力偶2.力系简化为合力FR′就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。(1)OMOFR'力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFRFR″(2)(c)OO′dFR′3.力系平衡平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理OMOFR′如下图所示，显然有证明：MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFRFR″

一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？F1F2FnABFRAB答：合力与两点连线平行时可能。思考题4-1

在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2FnA

思考题4-2

有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？F1F2FnAB思考题4-3§4-3分布荷载

集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，铁轨给轮子的力等。FN几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。

线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。(1)集中荷载的单位，即力的单位(N，kN)。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。1.

荷载的单位(2)体分布荷载的单位：N/m3，(3)面分布荷载的单位：N/m2，(4)线分布荷载的单位：N/m。(1)均布荷载：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：其作用线通过梁的中点。Fq=10.91kN/mFBFAl=16m2.分布荷载的计算方法如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2)非均布荷载：荷载集度不是常数。求图示梁上线性分布荷载的合力。ABxxylxcFR解：取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为微段上的荷载为：以A为简化中心，有C例题4-1

由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：例题4-1ABxxylxcFRC

已知水坝的坝前水深h=10m,求1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。ABqyyCFdhqdy1m例题4-2解：在深度为y处，水的压强

取1m长的坝体考虑时，作用于坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。ABqyyCFdhqdy1m例题4-2(rg=9.81kN/m3,r为水的密度，g为重力加速度。)

该分布荷载是呈三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3高度处。ABqyyCFdhqdy1m例题4-2§4-4平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。平面一般力系的平衡方程为：OMOFR′

图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。均质水平梁AB自重

P

=4kN,荷载F

=10kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。例题4-3ABDEPFC2m1m1m

解：(1)取AB梁为研究对象。(2)画受力图。未知量三个：FAx、FAy、FT，独立的平衡方程数也是三个。(3)列平衡方程，选坐标如图所示。ABDEPFFTxyFAxFAy例题4-3由(3)解得以FT之值代入式(1)、(2)，可得：FAx=16.5

kN,

FAy=4.5

kN。例题4-3ABDEPFFTxyFAxFAy

即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：

如果例题4-3中的荷载F可以沿AB梁移动，问：荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力（FT）最大？其值为多少？思考题4-4例题4-3ABDEPFFTxyFAxFAy看可否求出FT、FAx、FAy；(1)由右图所示的受力图，试按思考题4-5(2)由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFTxyFAxFAy(3)由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy。ABDEPFFTxFAxFAyC思考题4-5平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B两点连线不垂直于x轴。ABFRx2.三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。ABFRC

由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其中必有一个是从属的？思考题4-6ABDEPFFTxFAxFAyC

图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座约束力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a解：(1)选AB梁为研究对象。

(2)画受力图如右图所示。

(3)取坐标如图。例题4-4(4)列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx例题4-4

在例4-4中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。

y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考题4-7§4-5平面平行力系的平衡条件平面平行力系：yOxF1F2Fn

图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系的平衡条件为：即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式yOxF1F2Fn注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。静定和超静定的概念：

静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a

超静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。

分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。qACBDMe2aa4aF4a§4-6物体系统的平衡问题

物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG1.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力：因外力作用,在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2.物体系平衡问题的静定或超静定

物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。注意：(1)在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而就不独立了。(2)在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。

求图示多跨静定梁的支座约束力。梁重及摩擦均不计。例题4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE

分析：未知量9个，5个支座约束力，C、E处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。所以系统是静定的。AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx例题4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGxy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG(2)研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCE例题4-5解：(1)研究EG梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3)研究AC梁AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx例题4-5xy例题4-5AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx

图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q

(kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的约束力。CABFAxFAyFBxFBy

q例题4-6qCABhl/2l/2解：(1)研究整体其受力如图所示。例题4-6CABFAxFAyFBxFBy

q(2)研究AC,并画其受力图。qCAFAxFAyFCyFCx例题4-6CABFAxFAyFBxFBy

q用另一种方法解例4-6。思考题4-8FBCABFAxFAyq判断图中受力图是否正确？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?思考题4-9qCABhl/2l/2由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错的。qCAFCyFCxFAy=0.5ql(b)0.5qlChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)练习:图示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知

a＝2m，q＝500N/m，F＝2000N。求铰链B的约束反力。CDBEAFa【解】取整体为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程，有解得CDBEAFq解得CDBEAFq再取AEB为研究对象，考虑到DE为二力杆，AEB受力如图所示，列平衡方程，有解得解得BEA重心和形心§5-1重心和形心的坐标公式§5-2确定重心和形心位置的具体方法地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）ΔPi

，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio

平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕C点转过同一角度。C点称为平行力系的中心。对重力来说，则为重心。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio

重心的位置对于物体的相对位置是确定的,与物体在空间的位置无关。重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio§5-1重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右图认为是一个空间力系，则P=∑ΔPi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理同理有为确定

zC，将各力绕y轴转90º，得2.均质物体的重心坐标公式即物体容重g是常量，则zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心

对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC等于零。设板厚为d，则有V=A·d，ΔVi=ΔAi·d则上式也即为求平面图形形心的公式。§5-2确定重心和形心位置的具体方法(1)积分法；(2)组合法；(3)悬挂法；(4)称重法。具体方法：1.积分法对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。C2R.O例题5-1解：建立如图所示坐标系，则xC=0现求yC。

则例题5-1b(y)ydyC2R.Oxy代入公式有例题5-1C2R.Oxy2.组合法当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020x20200O例题5-2

解：取Oxy坐标系如图所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）×20=3600mm2

x1=10mmy1=110mmA2=150×20=3000mm2

x2=75mmy2=10mm例题5-2y15020x20200O12由组合法，得到xC=A1+A2

A1x1+A2x2=39.5mmyC=A1+A2

A1y1+A2y2=64.5mm另一种解法：负面积法将截面看成是从200mm×150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而A1=200×150=30000mm2例题5-215020x20200Oy12y15020x20200O12x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm两种方法的结果相同。x2=85mm,y2=110mm例题5-215020x20200Oy123.悬挂法以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。ABCAB.

4.称重法对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。图示机床重2500N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当θ=20º时秤上的读数为1500

N。试算出机床重心的坐标。思考题5-1yx2.4mCBAθ边长为a的均质等厚正方形板ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的极限位置

ymax以保证剩余部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。ABDCEymaxaaxy作业5-4yC=A1+A2

A1y1+A2y2解：分两部分考虑xC=2a极限位置yC=ymaxⅠ：Ⅱ：,即作业5-4ABDCEymaxaaxyⅠⅡ解方程得展开得作业5-4ABDCEymaxaaxy内力和内力图§6-1平面桁架的内力§6-2轴力和轴力图§6-3扭矩和扭矩图§6-4剪力和弯矩·剪力图和弯矩图外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。内力必然成对存在，它们是大小相等、指向相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。为了求得物体内部各部分之间的相互作用力，需将物体假想地截开，取其一部分来研究；对于系统，也须截取某一部分来研究。§6-1平面桁架的内力1.什么是桁架桁架是由一些直杆组成的几何形状不变的结构。2.工程实例6.1.1桁架的概念所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。P例：地面卫星接收系统例：海洋石油钻井平台例：埃菲尔铁塔

(1)

截面形状和尺寸设计；

(2)

材料选取；

(3)强度校核。

3.分析桁架内力的目的：P6.1.2模型的建立1.屋架结构的简化上弦杆节点下弦杆斜杆跨度2.桁架简化的几个假设

(1)各杆在节点处用光滑的铰链连接；

(2)桁架中各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；

(3)所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。3.平面简单桁架的构成

在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。节点杆件平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程数：2n

未知力数目：m+3

在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。节点杆件6.1.3平面简单桁架的内力计算1.节点法例题6-1aaaaFCACDBEKFE如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求各杆内力。解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kN,FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-1取节点A，受力分析如图,设所有杆件均为拉杆。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAF例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFFEFFAFFCK例题6-1取节点K，受力分析如图。由平衡方程解得aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFCFFCAFCCFCDFCE取节点C，受力分析如图。由平衡方程解得例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx取节点D，受力分析如图。由平衡方程FDEFDCDFDB解得例题6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-1FBBFBDFBE解得取节点B，受力分析如图。由平衡方程aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例题6-2aaaaFCACDBEKFE如图平面桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求FE，CE，CD杆内力。2.截面法先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kN，FAy=2kN，FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx解：例题6-2由平衡方程作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。联立求解得FFEFCDaFCACKFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxm例题6-2意义：简化计算,问题：能否去掉零杆?3.零力杆件12(a)123(b)F12(c)F2=0F3=0F1=F2=0注意：(1)荷载改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何荷载作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。(2)实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。思考题6-1试判断下列各桁架中的零杆CABDF(a)FABCDEFGH(b)思考题6-1参考答案：ABF1(a)DCF1ABCDEFGH(b)4.小结(1)节点法(2)截面法(b)根据待求内力杆件，恰当选择截面；(d)所截杆件的未知力数目一般不大于3。(a)一般先研究整体，求支座约束力；(b)逐个取各节点为研究对象；(c)求杆件内力；(d)所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。

(a)一般先研究整体，求支座约束力；(c)分割桁架，取其一进行研究，求杆件内力；试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。思考题6-2FFF1234

aaaaAB思考题6-2参考答案：F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234

aaaaABIIIIII试计算图示桁架中1、2杆的内力。思考题6-3a

aa12ABEFGHCDF1F2I—I截面：Ⅱ—Ⅱ截面：∑MF(F)=0FS1=F1/2-2F2∑MD(F)=0FS2=F2-F1/4思考题6-3参考答案：a

aa12ABEFGHCDF1F2ⅡⅡⅠⅠ§6-2轴力和轴力图如上图中轴向受力的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。(b)CDF2F2(a)F1F1ABFFABmm拉压杆横截面上的内力，由截面一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的力，此力称为轴力。用符号FN表示。FFNAmFNFB习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。FFABmFFNAmFNFB解：要作ABCD杆的轴力图，则需分别将AB、BC、CD杆的轴力求出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。20kNFN1D作轴力图。20kN20kN30kNABCD1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设其轴力为正。则∑Fx=0，-FN1-20=0例题6-3120kN20kN30kNABCD12233xFN1=-20kN负号表示轴力的实际指向与所设指向相反，即为压力。于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体，设轴力为正值。则∑Fx=0，-FN2+20-20=0例题6-3120kN20kN30kNABCD12233FN2=0C20kN20kNFN2D∑Fx=0，-FN3+30+20-20=0FN3=30kN轴力与实际指向相同。

FN320kN20kN30kNDCB作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力FN。20kN20kN30kN.ABCDFN/kNx3020O例题6-3当然此题也可以先求A处的支座反力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。例题6-320kN20kN30kN.ABCD试作图示杆的轴力图。思考题6-4ABCD20kN40kN30kN0.5m0.5m1m思考题6-4参考答案：OxFN