关于可得与不可得的层次区分问题

关于可得与不可得的层次区分问题

近年来，一些科学家和教师开始关注“无限”这个概念。张伟平的文章《知识的学习》（以下简称“文章）是一篇讨论相关内容的文章。除了讨论了“可再”理论和边界概念之间的密切关系外，还介绍了所谓的“可再”和“不可再”区分模式。虽然本文中的一些术语也包含了上述两个概念，但本文只能讨论“可”和“不可”之间的区别。张伟平关于“可得”与“不可得”无限的区分标准十分混乱,这种混乱源于其对文献的严重误读.1无限非实无限客观上讲,张伟平本人也许不会认为“可得”与“不可得”无限的区分是由自己提出来的,她会认为这些无限层次区分的标准都是源于康托(Cantor)的某些认识,然后又由文作者多宾斯基(Dubinsky)等人明确提出的.为了便于参考与分析,下面将文中的相关论述分3段引述如下:论断1:“Cantor认为无限算术理论使Aristotle的潜无限和实无限的两难性永远存在,他的理由是只有所有元素都有了,集合才呈现,故集合的无限性应看作潜无限非实无限,无限集合受数学研究的影响.集合的势或集合序的类别被人为指定,‘具有某种界定’或是‘真正的有限’.为此,Cantor区别了这样的集合和真正的无限集合,后者的特点是‘无止境,无限制的,非人为设置的,是不可得的’,而前者是‘可得的’无限.”论断2:“他(指Cantor)进一步指出:‘不可得’无限的多样性是假设所有元素‘放在一起’导致矛盾,所以不能将多样性看作一个整体,看作‘已成立的事情’.”“Cantor将人们的认识划分为3个层次:有限,可得的无限,不可得的无限.实无限可以看作可得的无限,而不可以人为实现的潜无限集合可以看作不可得的无限.”论断3:“不可得的无限,如实数集,平行线,函数的单调性等.可得的无限,如无理数等.”“如果将近似取一位小数,两位小数……的数值分别列出1.4,1.41,1.414……形成的无穷数列的最终值就是.或许学生难以理解这个无限数列和的关系,这实质是一个可得的无限.”这里除了论断3完全是文作者自己的观点,前面两个论断却间接来自别处.其中,论断1是转译自文中转述文和中的说法,但所给译文并不准确,是很值得商榷的;论断2的第一部分是转引自康托的一封信,第二部分是多宾斯基从康托这封信的内容总结出来的观点.在文中,多宾斯基没有对Moore(文[3~4]作者)的说法给与评论,也没有更具体地说明什么是“不可得”的无限,仅强调在他的文章中只讨论“可得无限”,至少是能“确切表述”(Cognitivelyspeaking)的无限.2康托关于“不可得”的涵义解释了公理化集合论和范畴论关于“可思考的所有事物”作为转译过来的文字,论断1表述的相当混乱,几乎无法理解.我们认为张文中所给的译文并不符合原文所要表达的思想.由于篇幅所限,我们不打算咬文嚼字地讨论文作者Moore的说法,它也并不重要,因为多宾斯基给出了他们自己的理解.在文的第345页,有如下一段话:“康托关于不能赋值或赋予序的汇集类(collections)是无法测度的巨大,或是不可得(unattainable)的说法可见证于他给戴德金(Dedekind)的一封信中:如果一种多样性,当其所有元素被假设‘都已存在’时会导致矛盾,那么这个多样性是不可能被理解为一个单位(个体)的,或被理解为‘一个完成的对象’.我将这类多样性称为绝对或不协调的多样性.例如,我们不难看出,像‘所有可思考的事物’就是这样一种多样性.”根据上面的引文,以近现代所发展起来的公理化集合论为基础,并结合其历史渊源,我们不难弄清楚康托当年关于“不可得”多样性的含义.但文与文中却没有从现代集合论出发说明这一点.如果我们从积极的角度揣测,文与文的作者们可能不愿受囿于现代较为形式化的数学,仍然期望以朴素的直观认识为基础讨论无限,但这样做的消极影响也很明显,因为回避百余年数学和逻辑思想的研究成果谈论无限集合,难免产生一些误解和混乱(这一点从文中的个别内容也可以看出来).当年康托就意识到,对于将所有的序数汇集起来的类On={α|α是序数}是无法赋以序型(序数)的.类似的,对于V={x|x是集合}也无法确定其基数.所以他认为这些“汇集”不应看作数学所要探讨的集合.后来还有罗素,他给弗雷格的信中指出,存在着不能明确给定集合的命题函项,比如:“x∉x”.当然,依据现代的公理集合论,上述的On,V以及{x∈V|x∉x}都已经从集合论中排除掉了,它们都被称为“真类”.这些所谓的真类,便都属于当年康托所说的“不可得”的多样性,因为它们导致“不协调”.尽管如此,在现代数学中,将真类看成一个完成了的对象个体也并不会产生矛盾.了解范畴论的人都知道,这些“真类”在范畴论中经常被讨论.只有将这些真类看作集合(即作为公理集合论论域中的个体元)才会产生矛盾.但在康托时代,集合论还是建立在朴素实在论的基础上,那种关于概念本体实在性的观念还有较重的残余.以至于概念与思维都比较混乱,没能搞清楚区分概念层次在逻辑分析中的重要性,所以产生了悖论.尽管如此,在康托自己的表述中,他还是十分谨慎地将set(集合)与collection(汇集)予以区别,这说明康托已经初步意识到了概念层次的区别问题.但文却忽略了这个区别.顺便提及,在现代的公理集合论中,康托所说的“可思考的所有事物”连真类也不是.因为以现代数学语言,无论是集合论语言还是范畴论语言,都无法将“可思考”表述成一个谓词,因此上述康托所说的汇集便不在数学研究的论域之内.但若将其理解为“所有的集合”,那它恰好是一个典型的真类.回头审视文,我们可以清楚地看出,多宾斯基之所以谈论“不可得”多样性,其目的在于从朴素集合论的角度排除可能的悖论.但有一点可以肯定,现代集合论中的那些集合,在多宾斯基看来,都是“可得的”无限.在承认选择公理和良序原理的前提下,这些集合都是可以赋值(基数)或赋予良序结构的,特别的,实数集理所当然是“可得的”.3不可得与无限层次的区分尽管上面的分析已经搞清了文是怎样误读了康托和多宾斯基,但其文章中的某些说法还需进一步澄清.我们知道,仅仅举例子是不能将概念含义界定清楚的,更何况在论断3中举的3个“不可得”无限的例子居然没有统一的特征.尤其将“单调性”作为不可得无限更是匪夷所思.因为定义在一个有限数集上的函数也可以具有单调性,这与无限有什么关系呢?而且这里还将对象与对象性质混为一谈.另外两个例子虽然与无限有联系,但它们为什么会是“不可得”的呢?这里最令人奇怪的是文似乎完全不考虑康托的说法而自行解释“可得”与“不可得”的无限.文中写到:实数集之“不可得”是因为它的“超经验性”.于是人们为了从直观上认识它,只好借用“数轴”来代替它.可是数轴也是“无限长”的直线,同样是超经验的!这种转化有意义吗?文中没有回答.接着又说:“平行线也是个体无法感知的,实质是不可得无限.”综上可知,文作者认为,凡是无法从经验(直观)感知的无限就是“不可得”无限.那么,在文作者看来,什么是“可得”无限呢?论断3中说:是可得无限.文给出的理由是:它是一个有理数列的“最终值”.但文作者可能忘记了,那个无法描述清楚的无穷数列也是不能凭经验感知的,它不是“不可得”无限吗?难道所谓的“可得”无限就是由“不可得”无限最终达到的个体对象吗?如果这样的话,0也是一个可得无限,因为它也是一个数列的极限,那么有限是什么呢?按文的区分标准看康托(或戴德金)的实数理论,每一个实数(包括有理数)都该被看作所谓的不可得无限.因为任何一个“基本列的等价类”(或者戴德金分割)肯定是不能被经验所感知的.依然按照文所提出的无限层次区分标准,回顾一百多年来理论数学的内容发展和语言变化,我们看到的是:数学家们不仅没有将“不可得”无限转化为“个体可感知的直观对象”,反而是将某些原本“有限”的对象转化为所谓的“不可得”无限了.不知道这个情况是否会让文作者感到失望.从上面的分析不难看出,如果不能将文中所提出的无限层次区分标准澄清,在数学的教学过程中必然会引起极大的认知混乱.4无限的区别标准下面整理一下本文的主要观点:(1)现代数学为排除逻辑悖论,以公理化的方式界定了集合论的论域.而关于“无限”之间关系的数学探讨(主要是关于势与序型的理论)也仅限于集合论.康托当年将“不可得”无限从他的集合论中排除掉,是因为它们导致逻辑上的“不协调”.但是实数集合作为一种无限,在康托眼里肯定是可得的.顺便说一下,在拓扑学中,作为空间,标准实数空间与一个有限长度的开区间没有本质区别.(2)以个体能否通过经验直观感知作为无限层次的区别标准,是一种退步.实际是回到了一般孩提时代对无限认知的朣朦状态,会引出大量的表述混乱.(3)文中不止一次将对