高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

..高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进展了分析和讲解。希望对广阔喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设，那么有(倒序积和)〔乱序积和〕

〔顺序积和〕其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立.〔说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.〕证明：考察右边不等式，并记。不等式的意义：当时，S到达最大值.因此，首先证明必须和搭配，才能使S到达最大值.也即，设且和某个搭配时有〔1-1〕事实上，不等式〔1-1〕告诉我们当时，调换和的位置〔其余n-2项不变〕，会使和S增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过n次调整后，和S到达最大值，这就证明了.再证不等式左端,由及已证明的不等式右端，得即.例1〔美国第3届中学生数学竞赛题〕设a,b,c是正数，求证：.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设，那么有根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上有即故.例2设a,b,c，求证：.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设，那么且根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑，并且利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3设，而与是的两个排列.求证：.〔1-2〕思路分析：条件中有两组有序实数，而式〔1-2〕具有"积和〞形式，考虑使用排序不等式.证明：令〔r=〕显然因为，且由排序不等式又因为所以且〔注意到0〕故故原式得证.2.均值不等式定理2设是n个正数，那么称为均值不等式.其中，，，，分别称为的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证.记，令，那么原不等式其中取使那么由排序不等式，易证下证因为]所以.从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号.下面证明对n个正数，应用，得即〔等号成立的条件是显然的〕.例4，求证：.证明：由于，，有从而下证，即。又因为，等号在x=(这时y=)时取得所以.例5〔IMO〕设a,b,c是正实数，且满足abc=1.证明：证明：令，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为〔2-1〕记，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么，〔2-1〕式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式同理可证，，于是即，〔2-1〕式得证.例6，且.求证：.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为，对，利用有即所以.3．柯西不等式定理3设，〔i=1,2,…n〕,恒有不等式，当且仅当时，等式成立.构造二次函数证明当或时，不等式显然成立令，当中至少有一个不为零时，可知A>0构造二次函数，展开得：故的判别式移项得，得证。向量法证明令.那么对向量有，由，，得当且仅当，即平行时等号成立。数学归纳法证明i)当n=1时，有，不等式成立。当n=2时，因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii〕假设n=k时不等式成立，即当且仅当时等号成立。那么当n=k+1时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i)ii〕可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的构造、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，假设将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。柯西不等式的推广命题1假设级数收敛，那么有不等式。证明：收敛，收敛，且从而有不等式成立。命题2[3]假设级数收敛，且对有，那么对定义在上的任意连续函数有不等式证明：因为函数在区间上连续，所以函数在上可积，将区间n等分，取每个小区间的左端点为，由定积分的定义得：令，那么收敛，由柯西不等式得从而有不等式。赫尔德不等式[4]设满足那么：，等号成立的充分必要条件是证明：首先证明时，对任何正数A及B，有.对凹函数有：令代入以上不等式并对于，把这n个不等式相加.即成立。等号成立的充分必要条件是：即例7设，求证：.思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.证明：因为0，故由柯西不等式，得所以.例8实数，e满足，求e的取值围.思路分析：由联想到应用柯西不等式.解：因为即，即，所以，故.评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.例9满足，求的最小值.解：容易猜到时，取最小值.为了证明这一点，利用柯西不等式，得，只需要证明等价于〔3-1〕由几何—算术平均不等式，得，同理可证，，，以上三式相加，〔3-1〕式得证，进而证得的最小值是，当且仅当时。评述：柯西不等式中的的项如何拆成两个因式和的积，可以说是应用此不等式的主要技巧〔上例，我们将中的表示为和的积〕，正因为可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.例10试问：当且仅当实数满足什么条件是，存在实数使得成立，其中，i为虚数单位，k=0,1,…,n.证明你的结论.〔高中联赛，1997〕思路分析：将成立转换到实数围求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找的围.解：将转化到实数围，即〔3-2〕假设存在实数使〔3-2〕成立，那么.由柯西不等式可得〔3-3〕如果，由〔3-2〕可知，从而与〔3-3〕矛盾于是得〔3-4〕反之假设〔3-4〕成立，有两种情况：⑴，那么取，k=0,1,2,…,n，显然〔3-2〕成立.⑵，记，那么不全为0.不妨设，取，并且取易知〔3-2〕成立.综上，所求的条件为.4．切比雪夫不等式定理4设，为任意两组实数，假设且或且，那么〔4-1〕假设且或且，那么〔4-2〕当且仅当或时，〔4-1〕和〔4-2〕中的不等式成立.证明：设为两个有一样次序的序列，由排序不等式有…………把上述n个式子相加，得上式两边同除以，得等号当且仅当或时成立.例10设，求证：证明：不妨令，那么

由切比