专题06指数与指数函数（重难点突破）

专题06指数与指数函数重难点一根式与分数指数幂(1)、性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(2)、规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(3)、有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.重难点二指数函数及其性质(1)、概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)、指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数重难点突破1指数与指数运算例1．（1）、（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.【详解】由题意可得，A错误；时，，B错误；，C错误；，D正确，故选：D（2）、（2023秋·高一课时练习）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质，准确计算，即可求解.【详解】对于A，由指数幂的运算性质，可得，所以A错误；对于B，由指数幂的运算性质，可得，所以B错误；对于C，由指数幂的运算性质，可得，所以C错误；对于D，由指数幂的运算性质，可得，所以D正确.故选：D.【变式训练11】、（2022·全国·高一课时练习（理））下列说法正确的个数是（）①49的平方根为7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.【详解】49的平方根是，故①错误；，故②正确；，故③错误；，故④错误．故选:A．【变式训练12】、（2023秋·高一课时练习）的值是【答案】【分析】根据指数幂的运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.例2、（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】运用指数幂的运算法则对（1）（2）进行求解即可.【详解】（1）；（2）【变式训练21】、（2022秋·新疆喀什·高一校考期中）计算下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)6(2)0【分析】（1）根据指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据指数幂运算法则进行计算即可；【详解】（1）原式（2）原式重难点突破2指数函数的图像与性质例3．（1）、（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．【详解】由函数，可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选：B．（2）、（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知，大于1，，大于0小于1．又由图可知，即．，即．，，，与1的大小关系是．故选：．【变式训练31】、（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））函数的图象恒过定点__________【答案】【分析】利用指数函数的性质可得答案.【详解】令，即时，，可得函数的图象恒过定点，故答案为：【变式训练32】、（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.【详解】解：函数，当时，是增函数，当时，的减函数，且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A．重难点突破3指数函数的单调性与最值（比较大小）例4.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．（2）、（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性，确定这三个数的范围，可比较大小.【详解】，即；，即；，即.所以有.故选：B.【变式训练41】、（2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，，利用在上递增判断.【详解】解：因为，，，，且在上递增，，，故选：A【变式训练42】、（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】计算可得，再分析，即可判断【详解】由题意，，，，故故选：B重难点突破4指数型复合函数的应用例5、（1）、（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令，则，因为单调递减，且所以，所以.故选：A.（2）、（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.【变式训练51】、（2023秋·江西·高二校联考开学考试）函数的单调递增区间为.【答案】【分析】根据复合函数单调性的判断方法直接判断即可.【详解】由题意知：的定义域为，令，则其在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：的单调递增区间为.故答案为：.【变式训练52】、（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______．【答案】【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．重难点突破4指数型复合函数的应用例6.（2023秋·高一课前预习）已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．【答案】(1)单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1](2)【详解】（1）函数的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．（2）由（1）知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f（1）＝2，f（3）＝，所以f(x)max＝f（1）＝2，f(x)min＝f（3）＝，所以f(x)的值域为.【变式训练61】、（2023·全国·高一假期作业）函数是偶函数．(1)试确定的值及此时的函数解析式；(2)证明函数在区间上是减函数；(3)当时，求函数的值域．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可.（2）利用函数单调性的定义法证明即可.（3）利用函数单调性即可求解.【详解】（1）由函数是偶函数，得，即，解得．所以.（2）由（1）知，，令，则，，所以，所以函数在区间上是减函数.（3）由（2）知，在上是减函数，所以在上也是减函数，则，所以．即函数的值域为.例7、（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知函数（）.（1）若，求函数的值域；（2）若方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1），（）

设，得，

（1）当时，，

所，，

所以函数的值域为；

（2）方程有解等价于函数在上有零点，

也即在上有解，

而函数在上单调递减，故函数在上的值域为，

所以实数的取值范围为.【变式训练71】、（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求实数的值；(2)已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得，再检验满足即可；（2）先判断函数在上的单调性，再结合单调性将问题转化为，进而分类讨论求解即可.（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，对任意的，即函数的定义域为，，即函数为奇函数，合乎题意，所以，.（2）解：任取且，则，所以，，所以，，所以，函数在上单调递增，函数在上为增函数，对于任意的，都有，则，所以，，因为，则.当时，则有，解得；当时，则有，此时.综上所述，实数的取值范围是.重难点突破4指数与指数函数的应用例8．（2022·陕西渭南·高二期末（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下所需的训练迭代轮数至少为（

）A．11 B．22 C．44 D．67【答案】D【分析】根据已知条件代入可解得,进而得，根据，解不等式即可求解.【详解】由得,故，由题意得,故至少迭代67轮，故选：D【变式训练81】、（2022·全国·高一课时练习）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．故选：B．1．（2023秋·高一课时练习）函数（，且）的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案.【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.故选：D2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】引入中间值，利用对数和指数比较大小即可.【详解】因为，，，所以．故选：C3．（2021春·云南保山·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较大小，即可得答案.【详解】由于指数函数在R上为减函数，故；指数函数在R上为增函数，故，故，故选：D4．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据判断复合函数的单调性的方法同增异减可得答案.【详解】令，则，因为为单调递减函数，且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线，所以的单调递减区间为，所以函数的单调递增区间为.故选：A.5．（2023秋·高一单元测试）（多选题）若3a·9b＝，则下列结论不正确的是（

）A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1【答案】ABD【分析】根据指数幂运算公式计算即可.【详解】3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，则a＋2b＝－1.故选：ABD.6．（2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的值域为 D．函数是减函数【答案】AC【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.【详解】的定义域为，，则，所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；，因为,所以,，所以,故的值域为,C正确；设,则,因为，所以，所以,即，所以函数是增函数，故D错误，故选:AC.7．（2022·福建省福州延安中学