一次不定方程的解法

一次不定方程的解法PAGEPAGE6一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理如果是互质的正整数，是整数，且方程①有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为其中…证因为是方程①的整数解，当然满足②因此．这表明，也是方程①的解．设是方程①的任一整数解，则有③③②得④由于，所以，即，其中是整数．将代入④，即得．因此可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1求的整数解．解法1将方程变形得因为是整数，所以应是的倍数．由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察，通过观察易得，所以，可取，从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程的非负整数解．解因为，所以方程两边同除以得①由观察知，是方程②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有③由于是整数，由③得，所以只有两种可能．当；当．所以原方程的非负整数解是，例3求方程的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程①的最小系数7除方程①的各项，并移项得②因为是整数，故也是整数，于是．化简得到③令（整数），由此得④由观察知是方程④的一组解．将代入③得，再将代入②得．于是方程①有一组解，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为，当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程的整数解．解为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得由此可知是方程的一组整数解．于是，是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？解设需枚分，枚分恰好支付分，于是①所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而，所以①的非负整数解为，，，所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程的整数解．解设，即，于是．于是原方程可化为①用前面的方法可以求得①的解为（是整数）②②的解为（是整数）③消去，得（都是整数）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买只，由题意列方程组①②化简得③③②得即，解得于是的一个特解为由定理知的所有整数解为由题意知，，所以解