蔡子星决赛模拟卷二

第33届全国中学生物理竞赛决赛模考训练01第01题拉绳子如图，一个半径为r的刚性圆柱体，轴线沿水平面放置，表面摩擦系数为卩。一根细长的柔软的不可伸长的绳子挂在上面，两端保持在竖直平面，沿着于水平方向夹角为e方向拉紧，发现拉紧后不论给多大拉力都无法拉动绳子，形成自锁。（1） 求e的取值范围（2） 令e取到上一文的临界角，即将滑动的时候，建立极坐标，以轴线方向为z坐标，以绳子最方向点所在平面为Z=0，以圆柱半径方向为P方向，以绳子最上方点为a=0方向，用Z,P,a之间的关系，写下绕在圆柱上的绳子的轨迹。第02题夜观天象在观测一个距离我们25光年的星系的时候，发现如下现象。正常情况下望远镜受到星光的能流密度为Y=2.38xl0-9js-im-2，每过工=1.72y（1.72年），星光变弱一次。其中奇数0次星光强度变弱成为原来的96.0%，偶数次星光强度变为原来的15.3%。每次先经过t=8.50h星光逐渐变暗，然后稳定一段时间，再经过相同的时候逐渐变量，整个过程持续2t=25.08h。检测星光中氢元素的吸收谱线，发现原来的一条谱线分裂成为两支，每支都1随时间发生周期性的频率移动，周期均为3.44y，相对中心频率，其中一支频率最大相对变化量为5.20x10-6，另一支为6.24x10-5。已知万有引力常数G=6.67x10-nNkgim2，黑体辐射的斯特潘常数为b=5.67x10-sK-4m-2Js-1，光速为2.998x108ms-1。（1） 根据以上现象，简单描述上述星系最可能的图像，以及星系中的星体的至少7个独立参数。（2） 计算说命上述星系中是否可能存在温度适宜人类殖民的行星。

第03题壁球如图一个壁球表面几乎是刚性的，半径为r,质心距离球心r=0.5r，球绕质心的转动惯量c为I=mr2。初态壁球以如图中角度，以速度v撞向地面，地面是完全弹性的，即反弹后相0对地面法向速度分量恰好反向。(1)若地面是光滑的，求反弹后质心速度大小(2)若地面摩擦系数为卩，求反弹后质心的速度方向第04题如图一个边长为l的正四面体，每条棱上的电阻为R，四面体体心为H，从H到四个顶点连有四个大小为C的电容。四面体放在水平面上，如图底面中心为坐标轴原点O。t<0时，空间中有指向x方向的均匀的不随时间变化的磁场，电容上电量为0。t>0后，匀强磁场B=B(coswt-x+sinwt-y)。(1)求t略大于0时刻，AD和AB上的电流大小。第05题GoosHachen效应实际光波不是无穷长波列，也不是单一频率，而是由中心频率附近的不同频率的光叠加，形成的有限长的波列。我们用频率为®和®+ 的两种频率的光线来模拟这一效果。在介质中频率和波矢的关系为k(①)。设频率为®和®+的两种频率的光线沿着x正方向轴传播，波函数写为U=Ucos(kx—®t)和U=Ucos((k+dk)x一(3+d®)t)。假设为线性介质，写出叠加10207d①的波形随位置和时间的变化关系，并用①,k, 表达等相位点传播速度，即相速度v和等dk p振幅点传播速度，即群速度v。g假设频率为®的光线以入射角0从折射率为n的介质射向折射率为n的介质，入射112点为坐标原点。由于入射光并不是严格以角度入射，而是由在附近角度的平面波叠加11形成，因而在x轴上光的振幅构成波包。我们用角度0和0+d0的两束光线叠加来模拟这111一情景。假设两束光在原点处的相位都为0,写下在x轴上的波形叠加的形式。n接上一文，当入射角0>arcsm—的时候，形成全反射，折射角0满足1 n 21.八nsin0 - 八匚 :—nsin0¥4sin0= 1>1，cos0=J1—sm20=一2』 1 -1为虚数(负号源于对上面2n 2 、 2讥n丿227对相位的定义，暂时不用管为什么)。以垂直于入射光和法线所在平面的偏振光为例，反射一 ncos0一ncos0光的振幅和入射光的振幅的比值为r=1 12 2。这样不同角度光线的反射光的ncos0+ncos01 12 2相位可能不同。写下反射光线于入射光线的相位差与入射角之间的关系§(0)接上两问，写出反射波波包中心，即振幅最强点相对入射光线的位移A(0)，这一效应被称为GoosHachen效应

第06题Maxwell-Boltzman分布率考虑一个质量为m的粒子在一维势阱V(X)二2kx2中运动，温度为T保持热平衡。已经粒子满足Maxwell-Boltzman分布，即一个粒子在能量为E的状态出现的概率为Ae-ent，其中A为常数，1E二一A为常数，1E二一mv2+V(x)2已知We-ax2dx='o 2JaI8xe-aX2dx=-；0 2aIsx2e-ax2dx=04a3/2(1)求这个粒子在位置x□x+dx范围内出现的概率dp=f(x)dx。求这个粒子的位移平方的平均值x2。假设有两个这样的粒子，之间没有相互作用，求两个粒子之间相对位移的平方的平均值(x-x)2121假设有两个这样的粒子，之间的相互作用势能为三k(x-x)2，求在位置x□x+dx范212围内出现的第一个粒子的概率dp=f(x)dx接上一问，求两个粒子之间相对位移的平方的平均值(x-x)212第07题匀加速的火车记地面参照系为S，在t=0时刻，火车的左端记为L，在x=0处,火车右端记为R，在x=l处。左右两端在地面参照系中匀加速向右运动，加速度大小为0(t<c/a)。在t时刻，存在一个相对地面匀速向右运动的参照系S'，这个参照系中，火车的左端此时恰好在原点，且速度为0。这个参照系被称为火车左端的瞬时静止系。就在这个参照系中，此时火车的瞬时加速度a'。对于火车左端，不同时刻的瞬时静止系是不同的。定义火车左端的本征时dx等于在这一小段时间对应的瞬时静止系中流逝的时间。定义t=0，x=0事件对应的火车左端的本征时为0。以本征时x为参数，写出火车左端世界线，即ct(x)和x(x)。定义火车右端t=