第05讲 直线的倾斜角与斜率（解析版）

第5讲直线的倾斜角与斜率【知识点梳理】知识点一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2．直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系3．过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关。（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4．三点共线．两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。知识点二两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点三两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2题型目录：题型一：直线的倾斜角题型二：直线的斜率题型三：两直线平行的判定题型四：两直线垂直的判定题型五：平行垂直在几何中的运用【典型例题】题型一：直线的倾斜角【例1】（浙江）直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以故选：D【例2】（2022·宁夏·银川二中高一期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则直线的斜率不存在，所以倾斜角为，故选：C【例3】（河南驻马店市）已知，，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线的斜率为k,则，所以倾斜角为，故选：D【例4】（全国）直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将直线方程化为斜截式:,故直线的斜率,，，所以直线的倾斜角范围为.故选：D.【例5】（2021·全国·高二期末）直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为，把直线绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则，所以.故选：C.【题型专练】1．（广西南宁市）已知直线，则直线l的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以．故选：C2．（河南焦作市）过点，的直线的倾斜角为45°，则等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意可知，所以.故选：B．3．（河南）已知直线l经过原点和两点，则直线l的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【解析】由和两点，代入斜率公式得，则直线l的倾斜角是60°.故选：C.4．（陕西省黄陵县中学）若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】因为经过，两点的直线的倾斜角为，所以，解得.故选：A.5．（全国课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是A． B． C． D．或【答案】B【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为，或，所以或，解得或.综上，实数的取值范围是.故选：B.6．（广东）直线的倾斜角的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵直线斜率，又，∴，设直线倾斜角为，∴，而，故倾斜角的取值范围是，故选：B．7．（白银市第十中学）设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：D．题型二：直线的斜率【例1】（陕西西安市·）已知直线经过点A(2，5)，B(3，7)两点，则直线的斜率为（）A．2 B．-2 C． D．-【答案】A【解析】利用两点的斜率公式即得．故选：A【例2】（河南）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.故选：.【例3】（江西景德镇市）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5【答案】C【解析】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在，所以，解得或故选：C【例4】（全国课时练习）已知，，若直线与线段AB有公共点，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，，【答案】C【解析】由于直线的斜率为，且经过定点，如图设直线与线段AB有公共点为，则在A，B之间运动，在A点时，直线的斜率为；在B点时，直线的斜率为，故.故选:C.【例5】（2022·全国·高考真题改编）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D【例6】若实数、满足，，则代数式的取值范围为______【答案】【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.【详解】直线过点，画出图象如下图所示，，，由于直线与线段AB没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意，当时，直线的斜率为，根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是.故选：A【题型专练】1．（河南）设点，若三点共线，则实数的值为_______．【答案】【解析】因为点三点共线，所以，解得.故答案为：2．（广西）如图直线的斜率分别为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率，又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，所以故选：D.3．（陕西咸阳市）设点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示：因为直线过定点，且，因为直线与线段有交点，则，即，解得，所以实数的取值范围是故选：C4．（全国高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.【解析】（1）kAB=，因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.（2）kPQ=，因为kPQ<0，所以直线PQ的倾斜角是钝角.（3）因为xM=xN=3，所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.5．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________.【答案】【解析】设与的倾斜角分别为，直线的斜率是，直线的斜率是，当直线由变化到与轴平行的位置时，它的倾斜角由增至90°，斜率的取值范围为当直线由变化到的位置时，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是.故斜率的取值范围是6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率是（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合正切的二倍角公式求解即可.【详解】设直线的倾斜角为．因为直线的斜率为，即，所以直线的斜率．故选：C7．（2022·全国·高二课时练习）已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．【答案】或【分析】设或，根据斜率公式可得或，再根据解出的值即得点B的坐标.【详解】解：设或，∴或，∴或，∴或，∴点B的坐标为或．故答案为：或．题型三：两直线平行的判定【例1】（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.【例2】（全国课时练习）判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，，经过，两点，则，所以.【例3】（云南）若直线和直线平行，则的值为（）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【解析】直线和直线平行，，解得或，经检验都符合题意．故选：C．【例4】（2022年天津市红桥区高中学业水平模拟测试数学试题）若直线：与直线：互相平行，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【详解】解：若直线：与直线：互相平行，解得故选：A．【例5】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线，则是的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件【答案】B【解析】【分析】利用两条直线平行的条件和充要条件的定义进行判断即可.【详解】若两直线平行，则，解得：或，当时，两直线重合，故不符合题意，舍去；当时，两直线平行，符合题意．故．所以是的充要条件，故选：B．【题型专练】1．（浙江）“”是“直线和直线互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线和直线互相平行，则，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件.故选：A2．（甘肃庆阳市）若直线与平行，则实数（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】因为直线与平行所以，解得或当时，与重合，故舍去；所以故选：B3．（全国高二课时练习）(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（）A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0【答案】AC【解析】A选项中，，且两直线不重合，故l1l2；B选项中，，∵∴两直线不平行；C选项中，，且两直线不重合，故l1l2；D选项中，l1斜率不存在，l2的斜率为0，∴两直线不平行.故选：AC4.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(

)A． B．2或 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．题型四：两直线垂直的判定【例1】（全国高二课时练习）判断下列直线与是否垂直.（1）的斜率为，经过点，；（2）的倾斜角为，经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】（1）因为，又，所以，所以；（2）因为的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以；（3）因为，，所以，所以.【例2】．（全国课时练习）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】两条直线垂直，则：，解得，故选：A．【例3】（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两条直线垂直可求得，结合充要条件的定义即可求出答案.【详解】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.故选：A.【例4】（2022·江苏·高二）“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若直线与直线垂直，则，即，解得或，因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.【题型专练】1．（河南漯河市）直线，若，则的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线，所以，又，所以的斜率为，因为倾斜角的范围，所以的倾斜角为，故选：B2．（陕西西安市·）若直线与垂直，则=（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】因为直线与垂直，所以，解得，故选：D3．（福建）已知直线：，若，则倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时,：则设的倾斜角为，则当时直线的斜率为，倾斜角为，，的倾斜角为综上，故选：4．（江西景德镇市）已知直线：和：，分别就下列条件求出实数m的值.（1）直线与垂直；（2）直线与平行.【答案】（1）（2）【解析】（1）：和：垂直，解得（2）：和：平行，且，解得题型五：平行垂直在几何中的运用【例1】（广西南宁市）在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．【答案】0【解析】由于正三角形的内角都为，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为，则斜率为，则边AC所在直线的倾斜角为，斜率为，所以AC，AB所在直线的斜率之和为．【例2】（全国高二课时练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________.【答案】(3,4)【解析】设顶点D的坐标为(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴点D的坐标为(3,4).故答案为：(3,4).【例3】（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，则有，解得，，故另两条边所在直线斜率为，.故选：C.【例4】（2021八省新高考联考试题）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线斜率分别为______，______。【答案】【解析】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故.故答案为：；【题型专练】1．（酉阳土家族苗族自