等比数列的通项及性质5大题型总结（原卷版）

等比数列的通项及性质5大题型总结【考点预测】【考点预测】一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．二．等比数列的通项公式（1）等比数列的通项公式等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式： 三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．（4）若为正项等比数列，则为等差数列．（5）若为等差数列，则为等比数列．（6）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．【题型目录】题型一：等比数列的通项公式基本运算题型二：等比中项问题题型三：等比数列通项下标的性质及应用题型四：等比数列的单调性题型五：等比数列通项新文化试题【典型例题】题型一：等比数列的通项公式基本运算【例1】（2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（

）A．2 B．2或 C． D．3【例2】（2023·陕西·安康市教学研究室二模（理））在数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【例3】（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【例4】（2023·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（理））若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，数列满足，，，则数列前n项和的最大值等于（

）A．126 B．130 C．132 D．134【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【例7】（2022·北京西城·高二期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【例8】（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例9】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．【例10】（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则______．【题型专练】1．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（

）A． B． C． D．32．（2022·全国·模拟预测（文））设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．32 D．483．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在等比数列中，若，，则（

）A．6 B． C． D．4．（2022·四川·射洪中学高二开学考试）已知等比数列满足，，则（

）A．18 B．24 C．30 D．425．（2022·山东泰安·三模）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（

）A． B． C． D．6．（2022·安徽省宣城市第二中学高二期末）已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．7.（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列满足.则通项公式________．9．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，，，则通项公式________．10．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.11．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且.则数列___________.12．（2022·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的公比，则__________．13．（2021·四川成都·高一期末）已知数列满足则___.14．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列满足，则___________.15．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，题型二：等比中项问题【例1】（2022·上海·华师大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（

）条件A．既不充分也不必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．充要【例2】（2022·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（

）A．， B．2， C．， D．1，【例3】（2021·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全国·高二课时练习）若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（

）．A．依次成等差数列 B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．2．（2022·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．3．（2022·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．4.（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（

）A． B． C． D．10题型三：等比数列通项下标的性质及应用【例1】（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．1012【例2】（2022·陕西西安·三模（文））已知为等比数列，，，则（

）A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8【例3】（2022·全国·高二课时练习）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【例4】（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．33【例5】（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042【例6】（2021·江苏·高二专题练习）已知数列为等比数列，且，数列满足，且，则（

）A．16 B．32 C．64 D．128【例7】（2022·全国·高二课时练习）两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则()A．512 B．32 C．8 D．2【例8】（2022陕西省商丹高新学校高二期中（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（

）A． B． C． D．【例9】（2023·全国·高三专题练习多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得【例10】（2022·湖南怀化·一模多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值【题型专练】1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知为等比数列，，则（

）A．1或8 B．或8C．1或 D．或

2．（2021·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．163．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知递增等比数列，，，，则（

）A．8 B．16 C．32 D．644．（2021·贵州师大附中高一阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A．5 B．7 C．－5 D．－75．（2022·全国·高二课时练习）在正项等比数列中，若，，则公比（

）A． B．或 C． D．或6．（2022·全国·高二课时练习）正项等比数列中，，且与的等差中项为，则的公比是（

）A．B．C．D．7．（2018·江西省信丰中学高二阶段练习）等比数列满足且，则当时，（

）A． B． C． D．8．（2021·江西·模拟预测（理））在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（

）A．25 B． C．5 D．9．（2022·全国·高二课时练习多选题）在等比数列中，，，则可能为（

）A． B． C． D．10．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习多选题）已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，，则（

）A．B．C．D．11．（2022·湖北襄阳·高三阶段练习多选题）在正项等比数列中，，则（

）A． B．的最小值为1C． D．的最大值为412．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，则______．13．（2022·四川省通江中学高二期中（文））若等比数列的各项均为正数，且，则___________.14．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．15．（2021·福建省福州格致中学高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且______．16．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）在正项等比数列中，若，则___________.17．（2021·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）等比数列中，且，则_______18．（2021·全国·高二）已知数列满足，且，则________.题型四：等比数列的单调性【例1】（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设是公比为的等比数列，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【例2】（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（

）A．， B．，C． D．【例3】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列，下列说法正确的是（

）．A．当时， B．当时，C．当时， D．【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前n项积为，则（）A．数列单调递增 B．数列单调递减C．的最大值为 D．的最小值为【例5】（2022·天津·一模）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(

)A．， B．，C．， D．，3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（

）A． B． C． D．4．（2021·江苏·高二专题练习）等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2021·江苏·高二课时练习）等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.题型五：等比数列通项新文化试题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【例2】（2022·湖南岳阳·高二期末）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·北京八十中模拟预测）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边