直线的方程（八大题型）（原卷版）

直线的方程课程标准学习目标1、能说出平面直角坐标系中确定直线的几何要素，能结合直线的点斜式方程求解过程，说明“直线的方程”和“方程的直线”之间的关系．2、能根据确定直线的几何要素（一点和方向）建立点斜式方程，能通过点的特殊化得出斜截式方程．3、能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式．4、能通过归纳点斜式、斜截式、两点式、截距式的共性，概括出直线的一般式方程；能用自己的语言解释直线与二元一次方程的关系．5、能用直线的方程解决简单的问题．1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程4、掌握直线的一般式方程5、会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点诠释：1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．4、表示直线去掉一个点；表示一条直线．【即学即练1】一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______．知识点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点诠释：1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．【即学即练2】倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________．知识点三：直线的两点式方程经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点诠释：1、这个方程由直线上两点确定；2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．3、直线方程的表示与选择的顺序无关．4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．【即学即练3】已知，，则直线的两点式方程为__．知识点四：直线的截距式方程若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距．知识点诠释：1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距．【即学即练4】过两点，的截距式方程为（

）A． B． C． D．知识点五：直线方程的一般式关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点诠释：1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．【即学即练5】若，且，则经过的直线的一般方程为_________题型一：求直线的点斜式方程例1．（2023·四川乐山·高二校联考期中）平面直角坐标系中，过点，且在且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为_______.例2．（2023·高二课时练习）若直线l经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．例3．（2023·高二课时练习）根据下列条件求直线的点斜式方程：(1)经过点，斜率为4；(2)经过点，倾斜角为．例4．（2023·高二课时练习）求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程．【技巧总结】（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为．题型二：求直线的斜截式方程例5．（2023·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______．例6．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．例7．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.例8．（2023·高二课时练习）已知直线过点和．（1）求直线的点斜式方程；（2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距．【技巧总结】（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距．（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用．题型三：用两点式求直线的方程例9．（2023·高二课时练习）过点，直线的两点式方程为______．例10．（2023·高二课时练习）已知点、，则直线AB的两点式方程是______．例11．（2023·高二课时练习）经过点､的直线的两点式方程为___________.例12．（2023·高二课时练习）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______．例13．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是______．（填序号）①一条直线不与x轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式；②点斜式方程适用于不垂直于x轴的任何直线；③过，两点的所有直线方程可表示为；④经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．【技巧总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．题型四：用截距式求直线的方程例14．直线的截距式方程是（

）A． B．C． D．例15．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B．与是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在轴、轴上的截距分别是2，－3的直线方程为例16．（2023·全国·高二专题练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为()A． B．C． D．【技巧总结】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零．题型五：直线的一般式方程例17．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________.例18．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）倾斜角为，且过点的直线的方程为__________.例19．（2023·广西河池·高二统考期末）直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．例20．（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）过点的直线方程（一般式）为_____．例21．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.例22．（2023·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，，且这条直线经过点，求直线l的一般式方程．【技巧总结】对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．题型六：判断动直线所过定点例23．（2023·高二课时练习）已知实数满足，则直线过定点_____.例24．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.例25．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）无论取何值，直线恒过定点__________．例26．（2023·福建·高二福建师大附中校考开学考试）直线恒过定点________.例27．（2023·湖南郴州·高二校考期中）无论为何值，直线必过定点坐标为______例28．（2023·高二单元测试）若，则直线必过定点______．【技巧总结】合并参数题型七：直线与坐标轴形成三角形问题例29．（2023·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．例30．（2023·甘肃庆阳·高二校考期中）（1）求经过，且斜率为的直线方程；（2）已知直线l过点，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，求直线l的斜率．例31．（2023·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．例32．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.例33．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)直线的斜率为；(2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为.【技巧总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型八：直线方程的综合问题例34．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．(1)证明：直线l过定点；(2)已知点，当最小时，求实数m的值．例35．（2023·高二课时练习）已知定点及定直线，点Q在直线l上（Q在第一象限），直线PQ交x轴正半轴于点M，要使的面积最小（O为原点），求Q点坐标．例36．（2023·内蒙古赤峰·高二校考期末）在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）.因此我们引入直角坐标系，对给定的两点和，用以下方式定义距离：（注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离）(1)画出到定点距离等于1的点构成的图形，并描述图形的特征；(2)设和，画出到A、B两点距离之和为4的点构成的图形，并描述图形的特征.例37．（2023·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）一条直线经过点分别求出满足下列条件的直线方程：(1)与直线平行：(2)交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，且取得最小值.例38．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知，由确定两个点.(1)写出直线的方程（答案含）；(2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值.【技巧总结】在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．一、单选题1．（2023·河南开封·高二统考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（）A． B．C． D．3．（2023·浙江杭州·高二统考期末）方程所表示的曲线是（

）A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．抛物线4．（2023·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考期末）下列说法中，正确的是（

）A．过点且在轴截距相等的直线方程为B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点并且倾斜角为的直线方程为5．（2023·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（

）A． B． C． D．6．（2023·新疆喀什·高二校考期末）直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是2，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．7．（2023·高二课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（

）A． B． C． D．8．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）设方程表示的曲线是（

）A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线C．一个圆 D．一条直线二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（

）A．若，则直线l的斜率小于0B．若，则直线l的倾斜角为C．直线l可能经过坐标原点D．若，则直线l的倾斜角为10．（2023·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（

）．A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为11．（2023·山东济宁·高二统考期末）下列说法中正确的是（

）A．直线在轴上的截距是B．直线的倾斜角是C．直线恒过定点D．过点且在.轴､轴上的截距相等的直线方程为12．（2023·山东潍坊·高二校考期中）关于直线，以下说法正确的是（

）A．直线l过定点 B．时，直线l过第二，三，四象限C．时，直线l不过第一象限 D．原点到直线l的距离的最大