行列式计算的一些技巧

行列式计算的一些技巧

列方程最初出现在16世纪的线性方程组解决方案中，但到目前为止，列方程理论的应用远不如此。它广泛应用于消元法、矩阵理论、坐标变换、多重积分中的变量替换、星兴运动中的微分方程集群、二次和二次束化等许多问题。然而，这些应用最终离不开列方程的计算，这是列方程理论中的一个重要问题。因此现特将行列式的计算方法归纳总结,并通过一些典型的例题介绍行列式计算的一些技巧。1定义方法此法是直接利用行列式的定义进行计算,它适用于行列式中有较多的零元素的情形。2化到注奏的情形此法是把行列式变换乘如下形式:就是使位于对角线一侧的所有元素全部都等于零,次对角线的情形,可以用改变行(或列)的次序成相反次序的方法,化到注对角线的情形,所得的行列式等于主对角线元素的乘积。3分离出一个未知量x的多个小序列,有以下四种自素此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式,变换它,若发现:它可被一些线性因子所整除,如果这些因子互素,它也可被这些因子的积所整除,然后将行列式个别项与线性因子积的项比较,求用这乘积除行列式的商,从而求得行列式的表达式。解:把D看成系数依赖与a,b,c的一个未知量x的多项式,如果将第一列加上其余各列,则行列式可分离出因子a+b+c-x;如果将第一列加上第二列减去第三列和第四列,则分离出因子a-b-c-x;如果将第一列加上第三列减去第二列和第四列,则分离出因子b-a-c-x;如果将第一列加上第四列减去第三列和第二列,则分离出因子c-a-b-x。所以行列式可被a+b+c-x,a-b-c-x,b-a-c-x,c-a-b-x除尽,又因这四个因子互素(因a,b,c,x代数独立),所以D可被它们的积除尽,即被(a+b+c-x)(a-b-c-x)(b-a-c-x)(c-a-b-x)除尽。这乘积包含项x4,带有系数+1,而行列式本身也包含同一项x4,带有系数也为+1。所以D=(a+b+c-x)(a-b-c-x)(b-a-c-x)(c-a-b-x)=(x-a-b-c)(x-a+b+c)(x+a-b+c)(x+a+b-c)。4更高阶的行列式此法是变换已知行列式,并按行或按列把它展开成较低阶的同类型的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出现几个低阶的行列式,然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出,在表达n阶行列式的递推关系中,把在递推关系式中的n-1换n所得到的关于n-1阶行列式的表达式代入;其次,把n-2阶行列式的类似表达式代入,依此类推,直到所求n阶行列式的一般表达式为止,递推关系式法是所研究的方法中最常用的方法,它适用与较复杂的行列式。5余子式的编码当以同一个数改变行列式的所有元素时得到一个新行列式,而对新行列式容易算出其值及其所有元素的代数余子式。解:将x-a换为a+(x-2a),则Dn可写为因此Dn=(x-2a)n+na(x-2a)n-1=(x-2a)n-1[x+(n-2)a]6阶行列式表式把n阶行列式适当地添加m行m列(m≥1),使得到的n+m阶行列式与原行列式值不变,而且这升阶后的行列式易于计算,进而求出原n阶行列式。例:计算n阶行列式解:将n阶行列式D添加1行1列构成n+1阶行列式,使其值不变,再将第2,3,…,n+1行分别减去第一行,得即将这n+1阶行列式再添加1行1列构成n+2阶行列式,使其值也不变,将第3,4,…,n+2列分别减去第1列,得即将第3,4,…,n+2列乘以1/2,然后都加到第1列上,再将第3,4,…,n+2列分别乘以,然后都加到第2列上去,得7dn选取基于aij的代数余子式对于一些综合性较强的行列式的问题,可以综合地运用代数方面的知识,才能使问题得以顺利的解决。则,不妨设f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an,ai∈Z(i=0,1,…n)即等号左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的,故,因此Dn≠0。不妨设A=(aij)是n阶方阵,B=(aij+x),则,其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式。这样就把计算行列式|B|化为计算行列式|A|及其若干个元素的代数余子式之和。此法也可推广为:设A=(aij)是n阶方阵,B=(aij+xj),则或设A=(aij)是n阶方阵B=(aij+xi),则。由此可以看出此法适用于行列式的各行(或列)必可写成两分行(或列)的和且任意不同两行(或列)中都有成比例的两分