行列式的发展与应用

行列式的发展与应用

列方程计算一直是高等代数和线性代数的基本问题。同时，它也是工程应用中的一门重要数学工具，尤其是大行列方程。这是工程计算中不可或缺的一部分。由于计算的技巧性较强,学生一直不易领会和掌握。因此根据几种常见的行列式类型,特别介绍行列式计算方法中的三角法、镶边法和递推法,并通过几种典型例题详细说明。1原行列式2(1)利用行列式的性质把一行(列)的适当倍数加到另一行(列),把行列式化为三角形,再利用三角形行列式的特点进行计算。例1计算行列式Dn=|x1-a1x2x3⋯xnx1x2-a2x3⋯xnx1x2x3-a3⋯xn⋯⋯⋯⋯⋯x1x2x3⋯xn-an|解:Dn=|x1-a1x2x3⋯xnx1x2-a2x3⋯xnx1x2x3-a3⋯xn⋯⋯⋯⋯⋯x1x2x3⋯xn-an|=|x1-a1x2x3⋯xna1-a20⋯0a10-a3⋯0⋯⋯⋯⋯⋯a100⋯-an|=a1a2⋯an|x1a1-1x2a2x3a3⋯xnan1-10⋯010-1⋯0⋯⋯⋯⋯⋯100⋯-1|=a1a2⋯an|n∑i=1xiai-1x2a2x3a3⋯xnan0-10⋯000-1⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯-1|=(-1)n-1a1a2⋯an(n∑i=1xiai-1)(2)行(列)归一法。先把某一行(列)全部化为1,再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式,从而求出行列式的值。例2计算行列式Dn+1=|ta1a2a3⋯ana1ta2a3⋯ana1a2ta3⋯an⋯⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3a4⋯t|解:将第2、3…n+1列元素都加到第1列上,得Dn+1=|ta1a2a3⋯ana1ta2a3⋯ana1a2ta3⋯an⋯⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3a4⋯t|=|t+n∑i=1aia1a2a3⋯ant+n∑i=1aita2a3⋯ant+n∑i=1aia2ta3⋯an⋯⋯⋯⋯⋯⋯t+n∑i=1aia2a3a4⋯t|=(t+n∑i=1ai)|1a1a2a3⋯an1ta2a3⋯an1a2ta3⋯an⋯⋯⋯⋯⋯⋯1a2a3a4⋯t|=(t+n∑i=1ai)|1000⋯01t-a100⋯01a2-a1t-a20⋯0⋯⋯⋯⋯⋯⋯1a2-a1a3-a2a4-a3⋯t-an|=(t+n∑i=1ai)n∏i=1(t-ai)能够利用化为三角形法进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能多的相同元素,从而利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多的零或其余所有行(列)加到某一行(列),使该行(列)的元素全部为1,进而化为三角形,最后通过三角形的特性求出行列式的值,这类行列式如:|x011⋯11x11⋯111x3⋯1⋯⋯⋯⋯⋯111⋯xn|n,|01⋯1110⋯11⋯⋯⋯⋯⋯11⋯0111⋯10|n,|123⋯n-103⋯n-1-20⋯n⋯⋯⋯⋯⋯-1-2-3⋯0|2角形行列式的计算利用行列式按行(列)展开的性质,把n阶行列式通过加行(列)变成与之相等的n+1阶行列式,利用行列式的性质把其转化为三角形行列式计算。添加行与列的方式一般有五种:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列以及(5)一般行列的位置。(1)11110110.1.310.111111111111111111111111111010.例3计算行列式Dn=|1+a11⋯1111+a2⋯11⋯⋯⋯⋯⋯11⋯1+an-1111⋯11+an|解:Dn=|1+a11⋯1111+a2⋯11⋯⋯⋯⋯⋯11⋯1+an-1111⋯11+an|=|1+a11⋯11111+a2⋯111⋯⋯⋯⋯⋯⋯11⋯1+an-11111⋯11+an100⋯001|=|a10⋯0010a2⋯001⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯an-10100⋯0an1-1-1⋯-1-11|=∏i=1nai|10⋯00101⋯001⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯10100⋯011-1a1-1a2⋯-1an-1-1an1|=∏i=1nai|10⋯00001⋯000⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯10000⋯010-1a1-1a2⋯-1an-1-1an1+∑i=1n1ai|=∏i=1nai(1+∑i=1n1ai)(2)范德蒙行列式的由来例4计算行列式Dn=|11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋯⋯⋯⋯x1n-2x2n-2⋯xnn-2x1nx2n⋯xnn|解:通过添加行列得:Dn+1=|11⋯11x1x2⋯xnyx12x22⋯xn2y2⋯⋯⋯⋯⋯x1n-2x2n-2⋯xnn-2yn-2x1n-1x2n-1⋯xnn-1yn-1x1nx2n⋯xnnyn|易见Dn+1是范德蒙行列式,则Dn+1=∏i=1n(y-xi)∏1≤j<k≤n(xk-xj)而行列式Dn的值为Dn+1按最后一列展开式yn-1项的系数乘以(-1)2n+1能够利用镶边法计算的行列式,各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列)时不能转化为三角形行列式,或添加一行(列)后能够直接利用范德蒙行列式的结果计算,类似的行列式有:|1+a11+a12⋯1+a1n1+a21+a22⋯1+a2n⋯⋯⋯⋯1+an11+an2⋯1+ann|,|x1a2a3⋯an-1ana1x2a3⋯an-1ana1a2x3⋯an-1an⋯⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯xn-1ana1a2a3⋯an-1xn|3高阶行列式的递推关系式及其评价利用行列式按行(列)展开的性质,得到原行列式与同类的低阶行列式之间的递推关系。此种方法有时用到Dn,Dn-1,有时用到Dn,Dn-1,Dn-2。(1)利用Dn,Dn-1进行递推例5计算行列式Dn+1=|xa1a2⋯ana1xa2⋯an⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯ana1a2a3⋯x|解:Dn+1=|xa1a2⋯ana1xa2⋯an⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯ana1a2a3⋯x|=|xa1a2⋯an+0a1xa2⋯an+0⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯an+0a1a2a3⋯an+(x-an)|=|xa1a2⋯ana1xa2⋯an⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯ana1a2a3⋯an|+|xa1a2⋯0a1xa2⋯0⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯0a1a2a3⋯x-an|=an|xa1a2⋯1a1xa2⋯1⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯1a1a2a3⋯1|+(x-an)Dn=an|x-a1a1-a2a2-a3⋯10x-a2a2-a3⋯1⋯⋯⋯⋯⋯000⋯1000⋯1|+(x-an)Dn=an∏i=1n(x-ai)+(x-an)Dn而D1=x,D2=a1(x-a1)+(x-a1)x=(x-a1)(x+a1),D3=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a2)D2=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a2)(x-a1)(x+a1)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2)根据递推关系式可得D3=(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an)(2)利用Dn,Dn-1,Dn-2进行递推例6计算行列式Dn=|2cosθ10⋯0012cosθ1⋯00012cosθ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯12cosθ|解:Dn=|2cosθ10⋯0012cosθ1⋯00012cosθ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯12cosθ|=2cosθ|2cosθ10⋯0012cosθ1⋯00012cosθ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯12cosθ|n-1-|110⋯0002cosθ1⋯00012cosθ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯12cosθ|n-1=2cosθ⋅Dn-1-Dn-2而D1=2cosθ=sin2θsinθ,D2=4(cosθ)2-1=sin3θsinθ假设有Dn-1=sinnθsinθ,Dn-2=sin(n-1)θsinθ,则Dn=2cosθ⋅Dn-1-Dn-2=2cosθ⋅sinnθsinθ-sin(n-1)θsinθ=2cosθsinnθ-sinnθcosθ+cosnθsinθsinθ=cosθsinnθ+cosnθsinθsinθ=sin(n+1)θsinθ递推法有时也称为降阶法,因为用递推法计算的行列式按某行(列)展开后能够出现与原行列式相同结构的低阶行列式,进而得到同类型的高阶行列式与低阶行列式之间的递推关系。根据此关系式以及最初的一阶、二阶行列式