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利用分块方法处理矩阵问题

0块的方法的运用在矩阵的一些操作中，对于具有高级别的矩阵，通常使用块法将矩阵划分为几个小矩阵，并在操作过程中将矩阵视为元素来处理矩阵，这往往简化。本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.1预备知识矩阵的分块技巧性较强,要根据不同的问题进行不同的分块,常见的分法有四种:(1)列向量分割方法A=(a1,a2,…,an),ai(i=1,2,…,n)为A的列向量。(2)行向量分割法(3)分为两部分A=(A1,A2),其中A1,A2分别为A的若干列,或其中B1,B2分别为B的若干行.(4)分块阵的交换对分块阵可以进行广义初等变换,广义初等变换分为三种:(1)交换分块阵的两行(或列);(2)用一可逆阵乘以分块阵的某一行(或列);(3)用某一矩阵乘某一行(或列)加到另一行(或列).根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵:2主要应用2.1a,b、b、c求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决,而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大,对某些矩阵可以适当分块后再进行运算,可起到事半功倍的作用.分析:可以将矩阵A分成四块,其中,根据分块阵的性质,,而A1,A2为二级矩阵,其逆矩阵易求出,分别为例2.已知矩阵,求A-1.分析:可以将矩阵A分成四块,其中,根据分块阵的性质,,而A1,A2,A3为二级矩阵,其逆矩阵易求出,分别为2.2根据矩阵初等变换进行的广义初等变换例4.设A,B都是n阶方阵,AB=0,证明R(A)+R(B)≤n(R(A)表示矩阵A的秩,下同).证明:构造分块阵,对进行广义初等变换,则根据矩阵初等变换的性质有,而,所以R(A)+R(B)≤n.例5.证明R(A+B)≤R(A)+R(B).证明:构造分块阵,对进行广义初等变换,则根据矩阵初等变换的性质有,而(B),所以R(A+B)≤R(A)+R(B).例6.设A,B分别为s×n,n×m阶矩阵,则R(A)+R(B)≤R(AB)+n.证明:构造分块阵,对进行广义初等变换,,根据矩阵初等变换的性质有R,而,所以R(A)+R(B)≤R(AB)+n.2.3类属性的相关加先给出如下结论:设A,B分别为m与n阶方阵,则(1)当A可逆时,有;例7.求2n阶方阵的行列式.解:将矩阵D分块为,其中A=可逆,由结论(1)有|D|=|A||A-BA-1B|,而A-,所以|A-BA-1B|=(a-a-1b2)n,|D|=an(a-a-1b2)n=(a2-b2)n.例8.求矩阵的行列式,其中ai≠0,i=1,2,…,n.解:先对进行加边,然后将加边后的行列式的第一行乘以-1加到其余各行得,令A=(1),D=(11…1)2.4可逆矩阵乘子法例9.设A为m×n阶矩阵,且R(A)=r,r>0,证明A可分解成两个秩为r的m×r,r×n阶矩阵的乘积.证明:因为R(A)=r,所以存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使其中,且R(A

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