矩阵的性质及应用

矩阵的性质及应用

矩阵中的特殊位置显示了矩阵。在这项工作中，详细讨论了如何确定矩阵是否为正气矩阵。及正定矩阵的性质,并给出了应用实例。1评估方法1.1各n阶可逆矩阵的1.n阶实对称矩阵A称为正定矩阵,如果对于任意的n维实非零列向量X,都有XTAX>0.正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作:A>0。例1设A是正定矩阵,P是非奇异实方阵,则PTAP也是正定矩阵。证明因为A是实对称阵,故PTAP显然也是实对称阵,又对任何实的非零列向量X,由于PX≠0(P是非奇阵),故XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)>0,即PTAP是正定阵。例2设A=(aij)和B=(bij)都是n阶正定矩阵,试证明:方阵C=(aijbij)也是n阶正定矩阵。证明显然矩阵C是实对称矩阵,今任取X=(x1,…,xn)T≠0,则由矩阵A>0,B>0,可知同时有:现在需要证明由B>0,知存在n阶可逆阵Q=(qij),使得B=QTQ(见1.2节的6),即所以对任何X=(x1,…,xn)T≠0,因为Q可逆,所以总存在一个;,使得(因为不妨设x1≠0,则由Q可逆知Q的第一列中总有一个元素不为0,设为,于是)又由A>0有:对以上的l成立。所以,即C=(aijbij)>0.注:用定义证明矩阵A正定需证明两点:1)A为实对称矩阵。2)对任何的非零实列向量X,XTAX>0.1.2与第二、关于a二次型的关系下面六个陈述是等价的1)n阶实对称矩阵A是正定的;2)正惯性指数等于n;3)A与n阶单位矩阵Fn合同;4)A合同于主对角元大于零的对角矩阵;5)A的特征值全大于零;6)存在可逆矩阵S使A=STS.推论1与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。推论2与正定二次型等价的实二次型也是正定的,从而满秩的实线形替换不改变实二次型的正定性。例3证明:若A是正定矩阵,则A-1也是正定矩阵。证明因为A是正定矩阵,所以A是实对称矩阵,A可逆,且(A-1)T=(AT)-1=A-1,即A-1也是实对称矩阵。下面用四种方法证明A-1正定。方法1因为A=ATA-1A.所以A-1与A合同,由推论1知,A-1是正定矩阵。方法2因为A合同于En,故存在可逆矩阵S,使得STAS=En,等式两边求逆得。(s-1)A-1(s-1)T=En,即。因此A-1是正定矩阵。方法3因为A正定,故存在可逆矩阵S,使得A=STS,可是A-1=s-1(s-1)T,因此A-1也正定。方法4设A的特征值为λ1,λ2,……λn,因为A正定,所以λi>0,(i=1,2,……n)。故A-1的特征值-1>0,。因此A-1正定。1.3子式全非负的正当性7)A的所有顺序主子式全大于零。8)A的所有主子式全大于零。注:类似的我们可以得到半正定矩阵的7个等价命题:a)n阶实对称矩阵A是半正定的;b)A负惯性指数为零;c)A合同于;d)A合同于主对角元非负的对角矩阵;e)A的特征值全非负;f)存在n阶矩阵S使得A=STS;g)A的所有主子式全非负。例4设A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵,求证:|A+B|≥|A|+|B|,当且仅当B=0或n=1时等号成立。证明由A>0知,存在n阶可逆矩阵P,使得PTAP=En,故有:又因为PTBP显然是半正定的,设PTBP=C=(cij),则有:其中ci是C的所有i阶主子式之和,i=1,2,……n.因为C=PTBP≥0,它的主子式都非负,因此:所以:当B=0或n=1时显然|A+B|≥|A|+|B|成立。当B≠0且n>1时:易知PTBP=C≠0n×n,于是至少有一个cij≠0,此时C的一阶主子式cii,cjj不能都为零,否则,这与C半正定矛盾。于是c1>0,进一步有|En+PTBP|>1+cn,从而|A+B|>|A|+|B|成立。例5判断二次型是否正定。A的任意的k阶顺序主子式,所以矩阵A为正定矩阵,原二次型为正定二次型。例6t取何值时,二次型是正定二次型。要使二次型f正定,必须A的各阶顺序主子式全大于零,即满足:2次型主对角元如果矩阵A是正定矩阵,则必有:i)aii>0.i=1,2,……,n;ⅱ)A的元素的绝对值最大者必是主对角元;ⅲ)|A|≤annAn-1,其中An-1是A的n-1阶顺序主子式;ⅳ)|A|≤a11a22……ann,当且仅当A为对角阵时等号成立。证明由1.3节的8)可知i)显然的成立。ⅱ)反证:设|aij|最大,i≠j,则|aij|2>aiiajj。由1.3节的8)可知即有:|aij|2<aiiajj,与原假设的结果矛盾。故A中的元素绝对值最大者必是主对角元。ⅲ)对A作如下分块:则有:由于A正定,故An-1也正定,进而易知也正定,于是,仅当X为零向量,即an1=an2=…ann=0时等号成立。所以:|A|≤annAn-1,仅当an1=an2=…an,n-1=0时等号成立。iv)反复利用iii)的结果有:|A|≤annAn-1≤annan-1,n-1…a11,当且仅当A为对角阵时等号成立。我们可以利用上述正定矩阵A的性质判定某些实对称矩阵不是正定阵。例如,主对角元有非正数的对称阵必不是正定阵;只要有一个非对角元的绝对值不小于主对角元的最大者,则这个矩阵必不是正定阵;或是若对于n阶矩阵A有:|A|>a11…ann,则A必不是正定阵。例7判断二次