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文档简介
第4讲圆锥曲线的综合问题专题六解析几何母题突破3定值问题
已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l斜率的取值范围;母题思路分析❶联立l,C的方程,由判别式及PA,PB与y轴有交点求斜率的取值范围
↓❷用A,B的坐标表示M,N的坐标
↓❸用M,N的坐标表示λ,μ
↓(1)因为抛物线y2=2px过点P(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),依题意知Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<1,又因为k≠0.故k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3.所以直线l的斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),子题1设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l和x轴或y轴平行时,|x1|=|y1|,|x2|=|y2|,当直线l和x轴或y轴不平行时,设直线l的方程为x=my+t,Δ=(6mt)2-4(3m2-1)(3t2-3)=12(3m2+t2-1)>0,又x1=my1+t,x2=my2+t,=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0,解得2t2=3m2+3.子题2设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,代入A,B坐标并作差得,y1-y2=k(x1+x2)-2k,
①消去y得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,将①②③代入得,求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.规律方法跟踪演练设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x0,y0),消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=16(12k2-m2+3)>0,∵四边形OAGB为平行四边形,∴平行四边形OAGB的面积为S=d·|AB|=|m||x1-x2|当l的斜率不存在时,点P,Q的坐标分别为(2,3)和(2,-3)或P,Q的坐标分别为(2,-3)和(2,3),所以,当k1=1时,有k2=-3,当l的斜率k存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),l的方程为y=k(x-2),将直线l代入双曲线方程得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,Δ>0,专题强化练
(1)求椭圆C的标准方程;121212(2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点),点P与点M,N分别关于原点、y轴对称,连接MN与x轴交于点E,并延长PE交椭圆C于点Q,证明:直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值.12由题意可知直线PQ的斜率一定存在,设直线PQ的方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(-x1,-y1),N(-x1,y1),E(-x1,0),得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,122.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求C的方程;1212设A(x1,y1),B(x2,y2),代入x2=2py,得x2-2px-p2=0,所以x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,所以|AB|=y1+y2+p=4p=8,解得p=2,所以C的方程为x2=4y.12因为直线l的斜率k存在,设l的方程为y=k(x-1)+2,12消y得x2-4kx+4k-8=0,所以Δ=16(k2-k+2)>0,x3+x4=4k,x3·x4=4k-8,即Q(2k,2k2-k+2),得R(2k,k2),R为QT的中点,所以T(2k,k-2)
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