阶段综合练(1.4)-高中数学教学资料

11阶段综合练(1.4)1.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 ()A.(1,-1,1) B.(1,3,32C.(1,-3,32) D.(-1,3,-3【解析】选B.设平面α内的点P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2).由α的法向量n=(3,1,2),则⊥n.所以3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.将A,B,C,D选项的坐标带入验证,得B项符合.2.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为 ()A.1652 B.214 C.53 D.【解析】选D.因为=12(+)=12(4,3,6)=(2,32,3),=(0,1,0),所以=-=(-2,-12,-3),所以||=4+14+9=532.3.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),设D在直线AB上,且=2,设C(λ,13+λ,1+λ),若CD⊥AB,则λ的值为 ()A.116 B.-116 C.12 【解析】选B.设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z),因为=2,所以x+1=2(所以x=13,y=13,z=0,所以D(13因为CD⊥AB,所以·=2(13-λ)+λ-3(-1-λ)=0,所以λ=-116.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=60°,则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为 ()A.32 B.34 C.14 【解析】选C.因为AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,取AC的中点D,以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则B(3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),所以=(-3,-1,2),=(0,2,2),即||=22,||=22,·=2,所以异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为|cos<,>|==222×22=145.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为 ()A.36 B.33 C.233 【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).设平面A1C1D的一个法向量为m=(x,y,1),则即x-解得x=1,y显然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d==13=336.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是 ()A.5 B.8 C.6013 D.【解析】选C.以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12).又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=6013.因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为60137.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则下列选项中,正确的是 ()A.n1∥n2⇔α∥βB.n1⊥n2⇔α⊥βC.v∥n1⇔l∥αD.v⊥n1⇔l∥α【解析】选AB.对于A,平面α,β不重合,所以平面α,β的法向量平行等价于平面α,β平行,A正确;对于B,平面α,β不重合,所以平面α,β的法向量垂直等价于平面α,β垂直,B正确;对于C,直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面,C错误;对于D,直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内,D错误.8.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形,且∠PAD=π2,O为底面ABCD的中心,E为PD的中点,点F在棱PA上.若FAPA=λ,λ∈[0,1],则下列说法正确的有 (A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为21B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为2C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,则λ=D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,则λ=【解析】选BC.因为∠PAD=π2所以PA⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以PA⊥平面ABCD.因为底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),B(2,0,0),O(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),所以=(1,2,-4),=(0,4,0),所以|cos<,>|==812+22+所以异面直线PO与AD所成角的余弦值为22121由题易得E(0,2,2),AB⊥平面PAD,取平面PAD的一个法向量m=(1,0,0).因为FAPA=λ,λ∈[0,1],PA所以FA=4λ,所以F(0,0,4λ).设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),易知=(-1,0,2),=(1,2,-4λ),则即-x令x=2,得n=(2,2λ-1,1).因为平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55所以|cos<m,n>|=1-(5而|cos<m,n>|=|m·n所以24+(2λ-1)故C正确,D错误.9.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为__________.

【解析】设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立空间直角坐标系如图,则C1(0,1,1),A32,12,又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.则sinθ=|cos<n,>|==64,故cosθ=1-sin答案:1010.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=23a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________【解析】=++=13++13=13(+)++13(+)=23+13=23+13.所以与,共面.又因为MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.答案:平行11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.则点M到直线AC1的距离为________;点N到平面MA1C1的距离为________.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=(0,22,22),=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d==5-12设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),则即2y取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故N到平面MA1C1的距离d==35=355答案:32212.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面ABCD,且PD=DA=CD=2AB=2,点M为PC的中点.若平面PAD内的一点N满足MN⊥平面PBD,则MN的长为________.

【解析】由题意知DP,DC,DA两两垂直.以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示).因为PD=CD=DA=2AB=2,所以D(0,0,0),B(2,1,0),P(0,0,2),M(0,1,1).设N(x,0,z),则=(x,-1,z-1),=(0,0,2),=(2,1,0).若MN⊥平面PBD,则即2解得x=12,z所以=(12,-1,0),所以||=52.答案:513.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点,所以DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD,以D为原点,DA,DE,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则M(1,3,2),N(1,0,2),D(0,0,0),E(0,3,0),C1(-1,3,4),C(-1,3,0),所以=(0,-3,0),=(-1,3,4),=(0,3,0),设平面C1DE的法向量为n=(x,y,z),则即-x取z=1,则n=(4,0,1).因为·n=0,MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)由(1)得C(-1,3,0),所以=(-1,3,0),而平面C1DE的一个法向量n=(4,0,1),所以点C到平面C1DE的距离d==417=41714.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.(1)求证:SC⊥平面AMN;(2)求平面ACD与平面ACM夹角的余弦值.【解析】(1)依题意建立如图所示的空间直角坐标系Axyz设AB=AD=SA=1,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(12,0,1所以=(12,0,12),=(-1,-1,1)所以·=-12+12=0.所以⊥,即SC⊥AM,又SC⊥AN,且AN∩AM=A,AN,AM⊂平面AMN,所以SC⊥平面AMN.(2)因为SA⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量.由(1)知,=(1,1,0),=(12,0,12),设平面ACM的法向量为n=(x,y,z),则即x+令x=-1,则n=(-1,1,1)所以cos<,n>==13=33,故平面ACD与平面ACM夹角的余弦值为3315.如图(1)所示,AD是△BCD中BC边上的高线,且AB=2AD=2AC,将△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如图(2).(1)在图(2)中,求证:AB⊥CD;(2)在图(2)中,E是BD上一点(不含端点),连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为12时,求直线AE与平面BCE所成角的正弦值【解析】(1)由题图(1)知,在题图(2)中,AC⊥AD,AB⊥AD,因为平面ACD⊥平面ABD,平面ACD∩平面ABD=AD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面ACD,又CD⊂平面ACD,所以AB⊥CD.(2)以A为原点,AC,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AC=1,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),设E(x,y,z),=λ(0<λ<1)则(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ),所以E(0,2λ,1-λ),所以=(0,2λ,1-λ),易知平面AB