二　共线向量与共面向量

8二共线向量与共面向量1.下列命题中正确的是 ()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb【解析】选C.A中,若b=0,则a与c不一定共线;B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面;C中,因为+=0,所以=-,所以与共线,故∥正确;D中,若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使a=λb.2.设空间中四点O,A,B,P满足=m+n(其中m+n=1),则 ()A.点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线AB上C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对【解析】选A.由已知可得,点P,A,B三点共线.3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 ()A.=2--B.=15+13+12C.++=0D.+++=0【解析】选C.C选项中,=--,所以点M,A,B,C共面.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是 ()A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.因为-=,且=,所以-=,即=+.又因为与不共线,所以,,三向量共面.5.(多选题)下面关于空间向量的说法正确的是 ()A.若向量a,b平行,则a,b所在直线平行B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面C.若A,B,C,D四点不共面,则向量,共面D.若A,B,C,D四点不共面,则向量,,不共面【解析】选CD.我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内,因此空间任意两个向量都是共面的,故B不正确,C正确.由向量平行与直线平行的区别,可知A不正确.因为AB,AC,AD是空间中共端点A但不共面的三条线段,所以向量,,不共面,故D正确.6.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=23,则下列说法正确的是 ()A.E,F,B三点共线B.A1,B,C,D四点共面C.A1,E,F三点共线D.A1,E,F,B四点共面【解析】选AD.设=a,=b,=c,因为=2,=23,所以=23,=25,所以=23=23b,=25(-)=25(+-)=25a+25b-25c.因为≠λ,所以C中说法错误;因为=-=25a-415b-25c=25(a-23b-c),且=++=-23b-c+a=a-23b-c,所以=25,故E,F,B三点共线,所以A中说法正确;因为直线与直线外的一点确定一个平面,所以D中说法正确;由题图可知B中说法错误.7.设e1,e2是空间内两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是__________.

【解析】因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,所以=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以1=6λ,k=6答案:1【补偿训练】已知空间向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k的值是________.

【解析】若ke1+e2,e1+ke2共线,则ke1+e2=λ(e1+ke2),又由e1,e2不共线,得k=λ,λk答案:±18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于________.

【解析】若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,所以2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),所以2=−x+7y,−1=4答案:659.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,在AC1上和BC上分别有一点M和N,且=k,=k,其中0≤k≤1.求证:,a,c共面.【证明】因为=k=kb+kc,=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,所以=-=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc.由共面向量定理可知,,a,c共面.10.如图所示,四边形ABCD,四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.【解析】M,N分别是AC,BF的中点,四边形ABCD,四边形ABEF都是平行四边形,所以=++=12++12.又因为=+++=-12+--12,所以12++12=-12+--12.所以=+2+=2(++).所以=2,所以∥,即与共线.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果=+7+6-4,那么点M必 ()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内【解析】选C.因为=+7+6-4=++6-4=++6-4=+6(-)-4(-)=11-6-4,所以M,B,A1,D1四点共面.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ= ()A.-1 B.-12C.12 D.【解析】选B.在△C1A1D中,EF是其中位线,所以∥,且=12,因此当+λ=0时,λ=-12.13.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,下列能表示向量的为________.(填序号)

①+2+2;②-3-2;③+3-2;④+2-3.【解析】因为A,B,C,P四点共面,所以可设=x+y,即=+x+y,由题图可知x=3,y=-2.答案:③14.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-25e2,b=-e1+110e2,则a∥④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).

【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;因为∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-25e2=-4b,所以a∥b,故③正确易知④也正确.答案:②③④15.如图所示,若P为▱ABCD所在平面外一点,H为PC上的点,且PHHC=12,点G在AH上,且AGAH=m,若G,B,P,D四点共面,求【解析】因为=-,=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为PHHC=12,所以=13所以=13(-++)=-13+13+13.又因为=-,所以=-43+13+13.因为AGAH=m所以=m=-4m3+m3+m3,因为=-+=-+,所以=1−4m3+m3−1+m又因为G,B,P,D四点共面,所以1-4m3=0,解得m=316.在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足=x+y,=s+t+u,若xy=st,则下面表述中,线段AQ与DP的关系是 ()A.AQ与DP所在直线是异面直线B