专题提升练二

1专题提升练二1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,点N为A1A的中点.建立适当的坐标系,求(1)BN的长;(2)A1B与B1C所成角的余弦值.【解析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系,由题意可得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN|=(1-0所以线段BN的长为3.(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(1,-1,2),=(0,-1,-2),所以·=1×0+(-1)×(-1)+2×(-2)=-3,又因为||=6,||=5,所以cos<,>==-3010,故A1B与B1C所成角的余弦值为30102.在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,点O是底面的中心,OV=h,且E是VC的中点.(1)求cos<,>;(2)若BE⊥VC,求cos<,>.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则V(0,0,h),B(1,-1,0),C(1,1,0),E(12,12,ℎ2所以=(-12,32,ℎ2),=(32,-12所以cos<,>=-34-34(2)由(1)知=(1,1,-h),=(-12,32,ℎ2),若BE⊥VC,则·=-12+32-ℎ22=0,解得h所以cos<,>=ℎ2-6ℎ2+10=3.如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;(2)求平面EBC与平面BCF夹角的正弦值.【解析】(1)依题意,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,32,1),N(1,0,2)设n=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则,不妨令z=-1,可得n=(1,0,-1);又=(1,-32,1),可得·n=0.又因为直线MN⊄平面CDE,所以MN∥平面CDE;(2)依题意,可得=(-1,0,0),=(1,-2,2),=(0,-1,2).设m=(a,b,c)为平面BCE的法向量,则,不妨令c=1,可得m=(0,1,1).设k=(a1,b1,c1)为平面BCF的法向量,则,不妨令c1=1,可得k=(0,2,1).因此有cos<m,k>=m·k|m||k|=310所以平面BEC与平面BCF夹角的正弦值为104.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,已知∠BCC1=π3,BCAB=C1C=2,点E是棱CC1的中点.(1)求证:C1B⊥平面ABC;(2)求平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值.【解析】(1)因为BC=1,CC1=2,∠BCC1=π3,所以BC1=3所以BC2+BC12=CC12,所以BC因为AB⊥平面BB1C1C,又BC1⊂平面BB1C1C,所以AB⊥BC1,又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B1(-1,3,0),E(12,32,0),A1(-1,则=(-1,3,-2),=(12,32,-2),=(0,0,-2),=(32,-32,-2),设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),则有,即-x+令y=3,则n=(1,3,1),设平面A1B1E的法向量为