专题提升练六

圆学子梦想铸金字品牌6专题提升练六1.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为 (A.67 B.167 C.716【解析】选B.易求直线AB的方程为y=3(x+2).由y=3(x得7x2+122x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=则AB=1+k2·(x2.已知F是椭圆x225+y29=1的一个焦点,AB为过椭圆中心的一条弦,则△ABF面积的最大值为A.6 B.15 C.20 D.12【解析】选D.由题意知,S△ABF=12|OF|·|y1-y2|≤12|OF|·2b3.如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是A.x-2y=0 B.x+2y-4=0C.2x+3y-14=0 D.x+2y-8=0【解析】选D.方法一:设交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,则x1236+y129=1,x22即836+49k=0,解得k=-故直线方程为y=-12(x即x+2y-8=0.方法二:设交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率不存在时不符合题意,所以设直线的方程为y-2=k(x-4),由y=kx+(2−4k)x236+y29=1消去y得(1+4k2)x所以x1+x2=32k又(4,2)是A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,所以x1+x22=4,即x所以32k2−16k1+4k故直线方程为y=-12(x即x+2y-8=0.4.已知椭圆C:x24+y2=1上两点A,B,若AB的中点为D,直线OD的斜率等于1,则直线AB的斜率等于 (A.-1 B.1 C.-12 D.-【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,则x1两式相减得x12−x2整理得y1−y2x1−x2即kAB=-14·1kOD5.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则A.x245+y236=1 B.C.x227+y218=1 D.【解析】选D.因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=12(x-3),代入椭圆方程x2a2+y得a24+b2x2-32a2x+94a2-a2b所以AB的中点的横坐标为32即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a2=18.6.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为63,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是 (A.椭圆C的方程为y23+xB.椭圆C的方程为x23+yC.|PQ|=2D.△PF2Q的周长为43【解析】选ACD.由已知得,2b=2,b=1,ca=6又a2=b2+c2,解得a2=3.所以椭圆方程为x2+y23=1,所以|PQ|=2b2a=23=233,△PF2Q7.已知直线l:y=kx+1与椭圆x22+y2=1交于M,N两点,且|MN|=423,【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+1,x22+y2=1消去y所以x1+x2=-4k1+2k2,x1由|MN|=42得(x1-x2)2+(y1-y2)2=329所以(1+k2)(x1-x2)2=329所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=329即(1+k2)−4k1+2k22=化简得k4+k2-2=0,所以k2=1,所以k=±1.答案:±18.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则【解析】由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的方程为y=2(x-1),将其与x25+y24=1联立,消去y,得3x2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2所以|AB|=1+k2·|x1-x=1+22×(5设原点到直线的距离为d,则d=|−2|(−1)2所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×答案:59.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.【解析】(1)由题意得e=c所以椭圆C的方程为x26+y(2)设直线AB的方程为y=-x+m,联立y得3x2-4mx