四　空间向量基本定理

1四空间向量基本定理1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 ()A.a,b共线 B.a,b同向C.a,b反向 D.a,b共面【解析】选A.由于向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量a,b一定共线.2.如图,M为OA的中点,以为基底,=x+y+z,则实数组(x,y,z)等于 ()A.12,−1,0 BC.−12,1,0 【解析】选B.因为M为OA的中点,所以=-=12-,因为=x+y+z,所以x=12,y=0,z=-13.(2022·南京高二检测)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,CMCB=13,PN=ND,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c为基底表示为 (A.a+13b+12c B.-a+16bC.a-13b+12c D.-a-16b【解析】选D.由题意,得=++=13-+12=13-+12=--16+12=-a-16b+12c4.在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间的一个基底,则下列命题不正确的是 ()A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点不共面D.O,A,B,C四点中任意三点不共线【解析】选B.选项A对应的命题是正确的,若四点共线,则向量,,共面,构不成基底;选项B对应的命题是错误的,若四点共面,则,,共面,构不成基底;选项C对应的命题是正确的,若四点共面,则,,构不成基底;选项D对应的命题是正确的,若有三点共线,则这四点共面,向量,,构不成基底.5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且=+m-n,则 ()A.m=12 B.m=-C.n=12 D.n=-【解析】选AD.根据空间向量基本定理,有=+12+12,所以m=12,-n=12,即n=-126.(多选题)(2022·连云港高二检测)给出下列命题,其中正确的有 ()A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面D.已知a,b,c是空间的一个基底,若m=a+c【解析】选BCD.对于A,空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底,所以选项A错误;对于B,由向量a∥b,则a,b与任何向量都是共面向量,所以不能构成空间的一组基底,选项B正确;对于C,若,,不能构成空间的一组基底,则,,是共面向量,所以A,B,M,N共面,选项C正确;对于D,因为a,b,c是空间的一组基底,所以a,b,c不共面,所以a,b,a+c也不共面,即m=a+c时,a,b7.如图,在平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c,设G,H分别是侧面BB'C'C和底面O'A'B'C'的中心,则向量=______,向量=________.(用a,b,c表示)

【解析】=+=-+=b+c-a.=+=-+=-12(+)+12(+)=-12(--)+12(--)=-12(-c-a)+12(-b-a)=12c-1答案:b+c-a12c-1【补偿训练】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c.向量用a,b,c表示为________.

【解析】因为=-2,所以-=-2(-),所以b-a=-2(-c),所以=12a-12b+c答案:12a-12b8.设x=a+b,y=b+c,z=c+a且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组为______________(填序号).

【解析】如图所示,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面.答案:②③④9.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取为一个基底,在下列条件下,分别求x,y,z的值.(1)=x+y+z;(2)=x+y+z.【解析】(1)因为=+=++=-++,又=x+y+z,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为=+=+12=+12=+12+12=12+12+,又=x+y+z,所以x=12,y=12,z10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,E为A1D1的中点,F为BC1与B1C的交点.(1)用基底{a,b,c}表示向量,,;(2)化简++,并在图中标出化简结果.【解析】(1)=+=+-=a-b+c.=++=-a+12b+c.=+=a+12(b+c)=a+12b+12c.(2)++=+(+)=+=+=.如图,连接DA1,则即为所求.11.若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是 ()A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b【解析】选C.空间基底必须不共面.A中a=12[(a+b)+(a-b)],不可为基底;B中b=12[(a+b)-(a-b)],不可为基底;D中32(a+b)-12(a-b)=a+2【补偿训练】若向量,,的起点M与终点A,B,C互不重合,且点M,A,B,C中无三点共线,满足下列关系(O是空间任一点),则能使向量,,成为空间一个基底的关系是 ()A.=13+13+13B.≠+C.=++D.=2-【解析】选C.若,,为空间一组基向量,则M,A,B,C四点不共面.选项A中,因为13+13+13=1,所以点M,A,B,C共面;选项B中,≠+,但可能存在实数λ,μ使得=λ+μ,所以点M,A,B,C可能共面;选项D中,四点M,A,B,C显然共面.12.点P是矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,且=23,=,则满足=x+y+z的实数x,y,z的值分别为 ()A.-23,16,16 B.23C.-23,16,-16 D.-23【解析】选D.如图所示,取PC的中点E,连接NE,则=-=12-(-)=12-23-12=12-16=-12-16(-++)=-23-16+16,比较知x=-23,y=-16,z=16.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面C1D1DC的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=________.

【解析】如图,连接A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EF//A1D且EF=12A1D所以=12,即-12=0,所以λ=-12答案:-114.已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,若向量m在基底{a,b,c}下表示为m=3a+5b+9c,则m在基底{a+b,a-b,3c}下可表示为____________.

【解析】由题意知,m=3a+5b+9c,设m=x(a+b)+y(a-b)+z(3c)则有x+y=3x则m在基底{a+b,a-b,3c}下可表示为m=4(a+b)-(a-b)+3(3c).答案:m=4(a+b)-(a-b)+3(3c)15.如图,在三棱锥O-ABC中,G是△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.(1)用向量,,表示向量,并证明你的结论;(2)设=x+y+z,x,y,z∈R,请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).【解析】(1)=13(++).证明如下:=+=+23=+23×12(+)=+13[(-)+(-)]=13(++).(2)若=x+y+z,x,y,z∈R,则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是:x+y+z=1,且0<x<1,0<y<1,0<z<1.16.在三棱锥A-BCD中,P为△BCD内一点,若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,则= ()A.13+16+12B.12+16+13C.13+12+16D.16+13+12【解析】选C.三棱锥