第04章 正弦稳态分析

第四章正弦稳态分析

在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化，且电路已工作在稳定状态时，则相应的响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值和相位不同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。第一节正弦量及其描述一．正弦量的时域表示

正弦电流

正弦电压

1．周期T频率f和角频率ω

2πωtu(t)UmΨu0(=ωT)2．相(位)角、初相(角)与相位差Ψ称为初相角或初相，为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离，规定|Ψ|≤π

。Ψ=0的正弦量可视为参考正弦量。相位差ψ：两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的初相之差(与t无关的常数)。ψui>0(Ψu>Ψi)：称u相位超前于i或称i相位滞后于u

；ψui<0(Ψu<Ψi

)：称u相位滞后于i或称i相位超前于u；ψui=0(Ψu=Ψi

)：称u与i同相；ψui

=±π：称u与i反相；ψui

=±(π／2)

称u与i正交。例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？2、1、3．振幅(幅值、最大值)与有效值(effectivevalue)有效值：若一周期性电流i在一个T内流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间内流过同样R所作的功，则I就定义为i的有效值。有效值即方均根值

瞬时值为小写字母如i，u；最大值为:

Im,

Um；有效值为:I，U。3、表示u1超前u2(-165。），即u1落后u2165。正弦量的有效值交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V)；而耐压值、冲击值往往指最大值。Um=311V二．正弦量的相量表示1、正弦交流电路分析时必然涉及正弦量的运算解：直接用三角函数进行：上述运算较复杂。若遇乘、除法则更复杂。观察到u的ω与u1、u2相同，只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立某种联系，可使之运算得到简化。2、正弦量与复数的关系复数（复习）（1）复数的表示法Ⅰ.代数式（直角坐标式）Ⅱ.极坐标式（电路分析中常用）（2）代数式与极坐标式间的相互转换由欧拉公式将复指数函数展开：（3）复数的四则运算相等：两复数的实部和虚部分别相等。加减：加减运算也可以用平行四边形法则或多边形法则在复平面上用作图法进行。乘、除：用相量来表示正弦量

正弦量为一复数的实部称为正弦量i的有效值相量(phasor)。大写字母I上加小圆点是为了使之与有效值I相区别，相量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数,反映其幅值和相位。+i+j(t=0)Ψi(t=t1)ωt1Ψiωt1ωt为旋转矢量，ejωt为按角速度ω逆时针旋转的旋转因子为此旋转矢量在实轴上的投影（即该时刻电流i的瞬时值）相量与正弦量一一对应。给定了正弦量，就可写出其相量；反之，给定相量及ω，就可写出其正弦量。解：4．正弦量运算与相量运算的对应同频率正弦量相加(减)对应为相量的加(减)。例1:已知用相量形式求u1+u2解：可见相量计算比三角函数法计算简便。DRG显示“DEG”2ndF

CPLX

5

a

30

b

2ndF

→xy

+

10

a

60

b

2ndF

→xy

=显示“9.33”b显示“11.16”2ndF

→rθ显示“14.55”b显示“50.1”例2：(5+j4)×(6+j3)=18+j392ndF

CPLX

5

a

4

b

×

6

a

3

b

=显示“18”b显示“39”相量图：相量在复平面上的图称为相量图。将几个表示同频率的正弦量的相量画在一个相量图上，可直观、清楚地看出它们的相位关系，还能用几何、三角方法求出待求量，这给计算带来方便。例3：3

+/-

a

4

+/-

b

2ndF

→rθ

显示“5”

b

显示“-126.8698…”例4：

10∠-60°=5-j8.66…

10

a

60

+/-

b

2ndF

→xy

显示“5”

b

显示“-8.66…”正弦量的微分与积分计算正弦量求导与相量×jω对应，振幅为原来的

倍，初相增加90°。正弦量积分与相量

jω对应，振幅为原来的1/

倍，初相减小90°。同理

正弦稳态下R、L、C等元件的VCR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知微分方程可对应为相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及VCR的相量形式。第二节电阻、电感和电容的相量形式的VCR一、R元件：R

Ψi

当UL

一定时，ωL越大，IL就越小，XL=ωL

称为感抗,量纲[ωL]=[V]／[A]=[Ω],ω越大，XL

越大，高频信号就越难以通过L；ω=0，XL=0,直流下L可等效为短路.二、L元件：ΨijωL三、C元件：UC

一定时1／ωC越大，IC就越小，XC=-1／ωC称为容抗。量纲[1／ωC]=[V]／[A]=[Ω],ω越大，即XC越小时，高频信号就越容易通过C；ω=0，即XC→∞时，直流情况下C可等效为开路.1／(jωC)+—Ψu

第三节电路定律的相量形式复阻抗与复导纳一、KCL、KVL的相量形式二、复阻抗、欧姆定律的相量形式线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为其等效复阻抗Z(compleximpedance)欧姆定律的相量形式。N0＋－＋－

Z

对R、L、C元件，有：Z是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点Z的两种坐标形式：极坐标形式：Z=|Z|∠ψZ代数形式：Z=R+jX

|Z|

RXψzZ、|Z|、R、X的量纲皆为Ω，且满足“阻抗三角形”

RjX＋－

+－

+－N个复阻抗串联：复数形式的分压公式。阻抗“性质”：RjXX=0(ψZ=Ψu–

Ψi=0)：，同相，N0呈电阻性(谐振状态)X<0(ψZ=Ψu-Ψi<0)：滞后于，N0呈(电)容性

X>0(ψZ=Ψu-Ψi

>0)：超前于，N0呈(电)感性

例1：图示电路已知：，试求正弦稳态下的i、uR

、uL

与uC

，并作相量图。

i

15Ω12mH5μF+uR

-+uL

-+u

-+uC

-解：此题如直接在时域求解,

解二阶微分方程较烦。我们用相量法分析.建立电路的相量模型如图,其中:15Ωj60Ω－j40Ω+-+-+-+-26.9°讨论：串联电路以电流相量为参考作相量图比较方便；并联电路以电压相量为参考作相量图比较方便。i)对RLC串联正弦稳态电路有：的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；iii)

Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗△与其电压△相似：|Z|

X

ψzRUUXURψzii)UL

=240V，UC=160V，都大于电源电压U=100V(DC电路不会如此)，这是由于电感上26.9°三、复导纳Y(complexadmittance)线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳。线性无源网络（NO）

YGjB|Y|BGIIGIBY代数形式所对应的“并联模型”的导纳△与其电流△相似：其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆为西门子(S).Y与Z的关系

（1）显然有：得：（2）且由：注意：当ψZ

≠0时，上式中的G≠1/R，|B|≠1/|X|且B与X异号。反映了Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系对应得：Y的“性质”：B=0(ψY=Ψi-Ψu=0)，、

同相，N0呈电阻性(谐振状态)；B>0(ψY=Ψi-Ψu>0)，滞后于，N0呈(电)容性；B<0(ψY=Ψi-Ψu<0)，超前于，N0呈(电)感性。单个R、L、C元件的复导纳BL为感纳,BC为容纳。N个导纳并联的分流公式由于Z(jω)是随频率而变的，因此不存在一个适用于所有频率的具体等效电路。在一定频率下，可得到一个只适用于该频率的等效电路，上述等效变换也就是在一定频率下得到的，这一等效电路也只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。例如：jBGω=10rad/sab5Ω1Hω=5rad/sa5Ω1Hω=10rad/sajBGω=5rad/sab若ω改变，则G，L数值也随之改变↔↔例2:已知R=2000Ω，f=400Hz,要使与相位差为求：L?解：先作相量图例3：图示电路，is(t)为正弦电流源，其ω=1000rad/s，调节C=1µF时，is(t)与其端电压u(t)同相，此时电压表V1的读数为30V，V2的读数为40V。求：R和L的值？解：第四节正弦稳态功率

一、瞬时功率p(instantaneouspower)N+u-i则网络N吸收的瞬时功率：图中u、i对N而言为关联方向，若设：以感性电路(ψ

>0）为例，电路的u,i,p的波形如图:其物理意义为：p的恒定分量(算术平均值)

P=UI

cosψ

反映了N消耗的平均功率；p>0时，外电路能量一部分被N内R所消耗，另一部分→L、C储能；

p<0时，N内L、C释放的能量→R所消耗，另一部分→外电路；|ψ|越接近于π/2，则阴影部分就越接近于半个周期，P=UI

cosψ就越接近于0，即与外电路能量交换的规模就越大。瞬时功率的实用意义不大，平均值才能反映网络实际吸收的功率。Tu、i、Pωt0iPuUI

cosψ二、平均功率P(averagepower)、功率因数λ(

powerfactor)λ=cosψ称为功率因数，ψ称为功率因数角(N无源时的阻抗角)。反映了N的平均耗能速率，亦称为有功功率(activepower)

。R、L、C元件的功率表达式如下：三、无功功率Q（reactivepower）为了反映能量交换的情况，引入：规定其SI单位为：Var(乏，无功伏安)。当ψ

>0,感性电路,Q>0，对单个电感来说,“吸收”无功功率;当ψ

<0,容性电路,Q<0，对纯电容而言,“发出”无功功率;无功功率表示电路中储能元件，其储存的能量与外部电路来回交换的情况。它与有功功率在耗能这个角度上说，有着本质的差别：有功功率表示电路实际所消耗的功率，电能转变成热能等其它形式的能量消耗掉了，而无功功率并不表示单位时间所作的功，它仅表示储能元件与外电路（电源）之间能量的来回交换，在其过程中本身并不耗能。无功功率正、负的含义：正——”吸收”，电能（电源或电容储能）→磁场能量储存；负——”发出”，电容储能→外电路（电源或电感储能）；四、视在功率S（apparentpower）

实际用电设备的容量取决于其工作的额定值UN

、IN(有效值)，可用“视在功率”来表征这种容量：S=UIS的量纲也是W，但规定其SI单位为“伏安”(VA)

而负载（用电设备）真正从电源处所获得的功率是在S=UI的基础上打了一个折扣：P=UIcosψ=Sλ，S也称为表观功率。讨论：1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗△电压△与功率△相似：URUXUψPQSψRX|Z|ψ

2、Y代数形式所对应并联模型的导纳△、电流△与功率△相似：IGIBIψ'PQSψ'GB|Y|ψ'

3、为了区分ψ正负时，常在λ后面附加“滞后”或“超前”字样。“滞后”指i滞后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性).五、复功率(complexpower)，功率平衡（VA）1.复功率（2）对于无源网络的串联等效模型Z=R+jX，有：（3）对于无源网络的并联等效模型Y=G+jB，有

于是有(1)2．复功率平衡：设网络共有b条支路，电压电流取关联方向则：

电路中复功率具有守恒性，即某些元件（支路）发出的复功率恒等于另一些元件（支路）吸收的复功率。也可以说成电路中总的有功功率是各部分有功功率之和，总的无功功率是各部分无功功率之和，但是总的视在功率并不是各部分视在功率之和。例：三表法测线圈交流参数R和L

WLVA30WR50V1A**电感线圈220V50HZ解：六、功率因数(λ=cosψ)的提高原因由于电力系统的负载多为感性负载（如日光灯、电机、电扇等），故提高λ的方法：在感性负载的“附近”（如某单位的变电所）并联适当的电容。不会影响原负载的工作状态（电压电流不变）。通过例子说明：提高功率因数的方法LR+-C例：原电路P=10kW，U=220V，cosψ1=0.6(感性)。如何使电路的cosψ提高到0.9？解：i)并联电容后相量图定性分析如图：ψ小于ψ1，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、电流的大小和相位不变（负载工作状况不变）；而总电流（输电线路）I明显小于I1

。ψ1ψii)由cosψ1提高到cosψ所需C的公式推导：并联电容不改变整个电路的P，只改变其无功（无功补偿）而Q由Ptgψ1=QL变为Ptgψ=QL+QC=Ptgψ1–ωCU2，iii)此例题正常求解的计算过程：要使cosψ提高到接近于1，所需的C将要大大增加，但I的减小已十分有限了

→

效益差

→

故一般将cosψ提高到0.9左右即可。PQψψ1QC第五节正弦稳态电路的相量分析法

一、分析方法概述：对于电阻电路：有∑i=0，∑u=0及u=Ri

等效变换、独立变量法、网络定理正弦稳态下变为：相量形式的上述各方法。（4）所有的方程均为相量与复数的关系式，不但有大小关系，还有相位关系。且一个复数方程可对应为两个实数方程(实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程)。相量法在DC分析法的基础上，还具有以下特点：（1）涉及复数运算，计算量大。（2）同一电路的阻抗串联模型的阻抗△、电压△及功率△相似；或导纳并联模型的导纳△、电流△及功率△相似。因此可借助这些Rt△的关系使计算简化。（3）可借助其它一些几何关系及相位关系(如等腰△、等边△、同相、反相、正交等)使分析简化。（5）功率花样多(P、Q、S、

）例1.求右图电路各节点的电压.2Ω+-2Ωj1Ω–j2Ω①②③解：电路的相量模型建立如图：节点1不写；节点2、3的方程为：例2.已知：

求：a，b端的戴维南及诺顿等效电路。解：例3.已知：R1=R2=R3=R4=R5=1Ω，C1=1F，C2=2F。求：输出电压与输入电压之比解：含运放电路的计算，一般采用节点分析法。注意两点：1、对节点②、③列方程时，应用运放的虚断特性（输入端电流为零）；2、运放输出端电流为未知量，故不宜对节点④列方程，方程数不足将由虚短特性所对应的方程所补充。例4.图示测量电感线圈参数电路。已知：U=100V，R2=6.5Ω，R=20Ω，当调节触头C使Rac=4Ω时，电压表V读数最小，其值为30V，电源频率f=50Hz。求：r、L的值？据题意作出相量图第六节最大功率传输一、问题的引出与结论有源正弦稳态网络N+-ZL=RL+jXLZL=?时可使PL=Pmax=？ZL=RL+jXL+-Zi=Ri+jXi+-可求得PL达极大值时即ZLd=Zi*=

Ri-

jXi

（共轭匹配）戴维南等效电路如图：

如果负载的阻抗角不变，而模可变，获得最大功率的条件？

讨论：共轭匹配时，电路的效率η为50%，实际电路的效率可能更低，电力系统希望η尽量大不运行在匹配状态。在弱电系统，为使负载获得最大功率，可忽略其无关紧要的效率问题。

当ZL=RL(纯电阻负载)时例1：图示电路，ZL为何值时获得最大功率？最大功率Pmax=？解：戴维南定理化简（KΩ，mA互抵消）第七节串联谐振电路

一、谐振(resonance)的概念我们重点讨论串联谐振电路和并联谐振电路

1．谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态，它在无线电和电工技术中得到广泛的应用。如收音机中的选频、滤波等。

2．谐振又可能会影响某些系统(如电力系统)的正常工作，甚至造成设备危害。从而又是要尽可能避免的。串联谐振：由电感线圈(R、L)和电容器(C)串联组成谐振电路，称为RLC串联谐振电路RLC欲串联谐振，需使:Im(Z)=0若、同相，策动点阻抗Z的幅角为零，电路呈电阻性，电路此时的工作状态称为谐振。串联谐振：

改变f、L、C之一，即可达到上式的串联谐振条件,f

0称为谐振频率ω0XC

XL

Xω0ω>ω0时为感性二、串联谐振的现象特征1：Z0=R，纯电阻性，且|Z0|为|Z|的最小值。

2：ρ为回路的特性阻抗，量纲为Ω3：串联谐振时的电压关系：串联谐振：

Q值的大小反映了谐振的程度。实际谐振电路的Q值可达几十至几百。收音机输入电路就是利用Q>>1的谐振回路在电抗元件上获得相当于感应电压大Q倍的电压信号，以便送入下一级放大。另一方面，电力系统中电压较高，若串联谐振，就可能造成某些设备的过压、过流而损坏。4：串联谐振时L、C的能量关系三、串联谐振时的能量关系即L、C总能量恒定不变，且为电场或磁场能量的最大值。电感中的磁场能量与电容中的电场能量进行交换，而不与电源交换。

LSRSC解：ω0=ω

=50×106rad/s，ρ=ω0L=1000Ω例1．已知ω=5×106rad/s，QL=100，L=200μH，US=10mV，求谐振时C=？I0

=？ρ=？UC0=？R=？如何判断电路处于谐振状态？1、电流最大。电路串联电流表，改变电源的频率，保持电压不变，电流最大时，发生谐振。2、用示波器观察电流与电压波形，电流与电压同相位时，发生谐振。四、串联谐振时的频率特性(谐振曲线)

1．阻抗的频率特性当外激励有效值不变、但频率改变时，电路中U、I、|Z|、φZ

等随之变化的关系称为频率特性。可用来表明电路对信号频率的选择性。串联谐振电路的I~ω关系又称为谐振曲线。ω0XC

XL

Xω0R

2．电流的频率特性谐振曲线（幅频特性）相频特性I0I通用谐振曲线通频带（带宽）BWQ值越大，曲线形状就越尖锐，当η稍微偏离1时（即ω稍偏离ω0），I/I0就急剧下降，表明电路对非谐振频率的电流具有较强的抑制能力，即谐振电路的选择性就好；反之Q值小，选择性就差。ηI/I000电压的频率特性UL~ω曲线:(1)Q>0.707:

ω=0，UL=0，ω(<ω0)↑UL↑,ω=ω0,UL=QU,ω(>ω0)↑,UL经峰值后下降，ω→∞，UL=U(2)Q<0.707，UL

不经峰值上升至UUC~

ω曲线(1).Q>0.707:

ω=0，UC=U，ω(<ω0)↑UC↑ω=

ω0,UC=QU,ω(>ω0)↑UC经峰值后下降,,UC↓,ω→∞，UC=0

(2).Q<0.707，UC

不出现峰值.Q>>1时，两峰值非常接近谐振频率，可认为UL0，UC0为最大

3．电压的频率特性2.1=Q第八节并联谐振电路一、GCL并联谐振电路与RLC串联谐振电路对偶，故有CL1、条件2、特征：（1）谐振频率附近电路呈现高阻抗当B=0时，出现谐振，Y=G，此时Y最小，则Zmax，L、C并联部分（2）（3）根据这一特点，并联谐振又称为电流谐振并联谐振电路

RLC串联谐振GCL并联谐振二、实际并联谐振电路

精确分析法：

近似分析法：

谐振时：内阻大的信号源CRL并联谐振（线圈与电容）电路的品质因数：定义：电容电流或电感线圈中的无功电流与电流源电流之比。与串联电路具有相同形式，有时也称线圈的Q值CRLCL’G’三、RS

、RL

对并联谐振电路的影响

CG’L’RSRld例求图示电路的ω0Q并BWf

ULdoRS

60kΩR

9ΩL54μHC100pFRLd60kΩUS=3VCG’L’RS60kΩRld

60kΩIS=50μA第九节三相电路

多相制——多个同频率同幅值不同初相的正弦电源按一定方式联接的电路。主要有：二相、三相、六相及十二相等。电力系统大多采用三相制电路，其具有以下优点：

1）同样尺寸的三相电机比单相电机功率大、且运行平稳（p=P，平衡制）、结构简单、易维护、价格低；

2）输送功率相同时，三相制比单相制可节省约25%的有色金属。一、三相电源及其联接1．对称三相电源：由同频率、等幅值、初相位互差120°的三个正弦电压按一定对称方式联接而成。这三个电源依次称为A相、B相和C相（国标称L1相、L2相、L3相），即以uA为参考正弦量。120°120°120°uuAuBuC0则有AXBYCZ对称性(symmetrical)引入对称相位算子：相序—各相到达正向最大值的次序（从越前到滞后的轮换次序）。上图为A→B→C→A，称为正(相)序.若反之，相序为A→C→B→A，则为负序,不作特别说明，均指正序。2．三相电源的联接方式相电压—端线与中线间的电压(对称时有效值记为Up):线电压—各端线间的电压(对称时有效值记为Ul)如:1)Y联接

ANBC+XYZNABC由相量图得2)△联接A(Z)B(X)C(Y)ABC

△联接时,线电压与相电压为同一个电压Ul=Up，三相电压源构成一个回路，若电压源顺序接错，回路上的电压之和则不为零,由于电源内部阻抗很小，将会产生很大的环流，使电源损坏。一般用图示电路来判断连接的正确与否.3．三相负载的联接方式ABCNABC由三相电源供电的负载称为三相负载,也有两种联接方式:Y或△4．三相电路:由三相电源和三相负载构成的复杂的交流电路。正弦电流电路的分析方法对三相电路完全适用。

三相电源一般保持对称，三相负载可对称(各相相等),可不对称(各相不等)。因此,三相电路又可分为对称三相电路和不对称三相电路.1)对称三相电路的分析

根据电源和负载联接方式的不同，可构成Y-Y系统，△-△系统以及Y-△系统，△-Y系统，后两种系统一般通过负载的△-Y变换化为前两种系统的分析。①对称Y-Y系统由弥尔曼定理得：ABCA′B′C′ZZZZlZlZlZNN′NC′ABC+A′B′N′ZlZNZlZlZZZN①对称Y-Y系统对称Y-Y系统讨论：1）由于中线上的电压、电流为零，因此中线存在与否，中线阻抗的大小对于电路的计算无影响。ABCA′B′C′ZZZZlZlZlZNN′N2）因为中线上的电压为零，N’、N间可视为用一理想导线联接，这样各相的计算就具有独立性。可在某一相的回路中求解电路。AA′ZZlN′NCC′ZZlNN′BB′ZZlNN′3）由于三相电流及负载电压对称，可只求一相的值，其它各相直接写出。注意：不含中线阻抗ZNN′ABCA′B′C′ZZZZlZlZlN②对称△-△系统ABCA′B′C′ABCA′B′C′由网孔法得：将负载经△-Y变换，电源变为Y联接，系统变为Y–Y系统分析，可得相同结果。对称△-△系统负载相电流与线电流相量图如图。可看出在三角形连接中，相电流对称时，线电流也是对称，且有：2)不对称三相电路的分析在三相电路中，不论是电源、负载还是联接线，只要有一部分不对称（通常是三相负载不对称），则称为不对称三相电路。若负载对称，ZA=ZB=ZC=Z，即对称三相电路（包括有、无中线两种情况）ABCZAZBZCZNNN’S点N’、N等电位，两点重合N’N1、由弥尔曼定理得不接中线时（S打开时）ABCZAZBZCZNNN’S现因负载不对称，ZA≠ZB≠ZC≠Z，点N’、N电位不等，两点不重合，这种现象称为中性点位移。相电压不相等，这对负载是不利的，由于负载不对称，彼此之间互有影响，故不能化为单相来计算。2、有中线，，即开关闭合时，中性点重合，即