高中数学人教A版选修2-3课件1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质1.杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为“杨辉三角”.特点:(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.【思考1】

二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗?提示:不是.二项式系数表中第一行是两个数,而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n+1行与杨辉三角中的第n行对应数值相等.【思考2】

观察杨辉三角,归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数?提示:从表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行……都是奇数,归纳得出第2n-1行(n=1,2,3…)都是奇数.【做一做1】

利用杨辉三角,将(a+b)7展开为

.

答案:a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7.2.二项式系数的性质

(3)各二项式系数的和.【做一做2】

在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为

,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为

.

答案:70a4b4

126a5b4与126a4b5A.A>B B.A=BC.A<B D.不确定答案:B探究一探究二探究三规范解答与杨辉三角有关的问题例1

如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.思路分析:由数列的项在杨辉三角中的位置,将项还原为二项式系数,结合组合数的性质求和.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练1在“杨辉三角”中,从第2行开始,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中,第

行会出现三个相邻的数,其比为3∶4∶5.

当堂检测探究一探究二探究三规范解答解析:若第n行中含有三个连续项之比为3∶4∶5,则存在正整数k使得答案:62当堂检测探究一探究二探究三规范解答求二项展开式中系数或二项式系数最大的项例2

已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解得5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系数最大的项为T6=1

792x5,T7=1

792x6.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟求展开式中系数的最值的方法(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.(2)若展开式的系数为f(r)=·mg(r)的形式.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,当堂检测探究一探究二探究三规范解答(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答二项式系数和问题例3已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.当堂检测探究一探究二探究三规范解答引申探究

在本例条件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练3在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答与二项展开式的系数、二项式系数有关的计算

(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.【审题策略】本题主要考查二项式的通项公式,二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念.【规范展示】解:由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答【答题模板】第1步,利用二项式系数和的定义求出n.第3步,利用通项公式求解系数的绝对值最大的项满足的条件.第4步,根据所求的范围得出最大项,并写出该项.失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)易将二项式系数和项的系数混淆,利用赋值来求二项式系数的和导致错误.(2)混淆项和项数、二项式系数和项的系数而出错.当堂检测探究一探究二探究三规范解答A.第19项

B.第17项C.第17项或第19项 D.第18项或第19项所以n=36,故第19项系数最大.

答案:A

当堂检测1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为(

)A.第6项 B.第7项C.第8项 D.第9项解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数,故系数最小的项为第8项,系数最大