第一章-数字逻辑基础

第一章数字逻辑基础第一章数字逻辑基础第一节概述第二节数制第三节各种数制之间的转换第四节码制第五节逻辑问题描述第六节逻辑代数基础第七节逻辑函数的五种描述方法第八节逻辑函数的化简1作业1-4、1-5、1-6

1-9、1-10(2)、1-11(2)1-12(奇数)1-13(偶数)1-17(1,3,5,7,8)1-18(2,5)、1-19

1第一节概述一、模拟信号与数字信号模拟信号：在时间上和数值上都是连续的

数字信号：在时间上和数值上都是离散的1

OtuuOt组合逻辑电路时序逻辑电路模拟电路数字电路电子电路数字电路中电子器件工作在开关状态是逻辑门电路的基本器件数字电路的基本单元将这些门电路集成在一片半导体芯片上集成电路电子开关第一节概述二、数字电路

数字电路的分析方法：与模拟电路完全不同，所采用的分析工具是逻辑代数，分析方法有真值表、逻辑表达式、逻辑电路图、波形图和卡诺图等。:产生、传输、处理数字信号的电路。电子器件工作在放大状态第一节概述三、数字电路的特点

1.逻辑运算能力强

2.抗干扰能力强

3.功耗低

4.电路结构简单，通用性强

5.保密性好发展迅速，应用广泛电子计算机数码相机ipad以及iphone1第二节数制数制是计数的体制，计数的方法1数码记数规律基位权书写十进制0~9逢十进一1010i(N)D或(N)10二进制0、1逢二进一22i(N)B或(N)2八进制0~7逢八进一88i(N)O或(N)8十六进制0~F逢十六进一1616i(N)H或(N)16基：数码的个数每种数制都有两种表示形式常用的几种进制1自己可以构造任意进制的数制位置计数法多项式计数法K表示数码，取0~9中的任意一个。一、十进制（一）位置计数法

（二）多项式计数法数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9基：10计数规律：逢十进一1

10i表示位权，位权指处于不同位置的数码代表的数值大小不同，i称做位号，表示第i位；Ki表示第i位的数码，取0~9中的任意一个。整数小数最高有效位最低有效位二、二进制

（一）位置计数法（二）多项式计数法数码：0、1基：2计数规律：逢二进一1三、八进制（一）位置计数法

（二）多项式计数法数码：0、1、2、3、4、5、6、7基：8计数规律：逢八进一1四、十六进制（一）位置计数法

（二）多项式计数法数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F基：16计数规律：逢十六进一1五、任意N进制的一般规律Y是N进制数，N为D、B、O或Hki为第i位的数码Ni为第i位的权N是任意进制数的基n、m为正整数，分别代表N进制数的整数部分的位数和小数部分的位数1第三节各种数制之间的转换一、二进制--十进制例：将二进制数10011.101转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得

(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝（19.625)D

同一个数可以用十进制、二进制、八进制和十六进制等各种进制的计数方法表示，它们之间必然存在一定转换关系。1按权位展开求和例：将(37.41)D

转化为二进制数，要求其误差不大于2-5。解：（1）整数部分：“除2取余”

连续“除2取余”的过程直到商为0为止

第三节各种数制之间的转换

（37)D=（100101)B

1（2）小数部分：“乘2取整”

0.41×2=0.82…整数部分为00.82×2=1.64…整数部分为10.64×2=1.28…整数部分为10.28×2=0.56…整数部分为00.56×2=1.12…整数部分为1

题目中要求其误差不大于2-5，即小数部分保留到-5位号。

（37.41）D=（100101.01101）B直到小数部分为0为止

第三节各种数制之间的转换1

（.41)D=（.01101)B

二、八进制--十进制例：将八进制数（75.3）O转换成十进制数。解：将每一位八进制数乘以位权，然后相加，可得（75.3）O＝7×81＋5×80＋3×8-1

＝（61.375)D第三节各种数制之间的转换1例：将(44.375)D

转化为八进制数。解：（1）整数部分：“除8取余”

连续“除8取余”的过程直到商为0为止第三节各种数制之间的转换（2）小数部分：“乘8取整”

0.375×8=3.0…整数部分为3

(44.375)D=(54.3)O直到小数部分为0为止

1三、十六进制--十进制例：将十六进制数（AF.1）H转换成十进制数。解：将每一位十六进制数乘以位权，然后相加，可得（AF.1）H

＝10×161＋15×160＋1×16-1

＝（175.0625)D第三节各种数制之间的转换1例：将(154.375)D

转化为十六进制数。解：（1）整数部分：“除16取余”

连续“除16取余”的过程直到商为0为止

第三节各种数制之间的转换0.375×16=6.0…整数部分为6

(154.375)D=(9A.6)H直到小数部分为0为止

（2）小数部分：“乘16取整”

1四、二进制--八进制

二进制数和八进制数之间有很简单的对应关系，3位二进制数对应1位八进制数，对应关系如表所示。(011111100.010110)B

=(374.26)O第三节各种数制之间的转换1(285.16)O

=(？)B五、二进制--十六进制

二进制数和十六进制数之间有很简单的对应关系，4位二进制数对应1位十六进制数，对应关系如表所示。

(101011110100.01110110)B=(AF4.76)H

第三节各种数制之间的转换1

(B1F.0A)H=()B

101100011111.00000110第四节码制数字系统中的信息：数值信息（计算）数制文字符号信息（文本）码制1码制：编码的方法。编码，通俗地讲：起名字现实生活中，汉字的组合给每人一个名字，或用一组十进制数码可以组成每个人的身份证号数字系统中，常采用一定位数的二进制数码来表示各个文字符号信息，即用一串bit给文字符号信息起名字，若用N表示信息的个数，用n表示二进制码的位数，则它们之间的关系为2n-1

＜N

≤2n

称为二进制编码。1第四节码制起名字：任意，随便一、BCD码(258.369)D=(0010

0101

1000.001101101001)8421BCD=(0101

1000

1011.011010011100)余3码1二、格雷码b3b2b1b0G3G2G1G000000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

格雷码是一种无权循环码。

编码特点是：相邻性和循环性。

该特点常用于模拟-数字的转换。当模拟量发生微小变化，格雷码仅仅改变一位，这与其它码同时改变2位或更多的情况相比，更加可靠，且容易检错。10111100001001100三、ASCII码ASCII码是国际上最通用的一种字符码，用7位二进制码来表示128个信息，包括十进制数、英文大小写字母、控制符、运算符以及特殊符号。计算机技术最初使用的目的纯粹是为了计算，后来ASCII码的引入使得文本成为计算机的新的处理对象。11小结第一节概述

一、模拟信号与数字信号二、数字电路三、数字电路的特点第二节数制—计数的体制，计数的方法四种常用的进制—B、D、O、H第三节几种进制之间的转换第四节码制—编码的方法三种常用的编码—BCD码、格雷码、ASCII码

对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。例如：不能省略！不能省略！如何用BCD代码表示十进制数？如(463.5)D=[?]8421BCD思考(374.26)O=(011111100.010110)B可以省略！

(AF4.76)H=(101011110100.01110110)B可以省略！200000写出下列两组代码所表示的十进制数？思考(00010011)8421BCD=()D(00010011)B=()D(00010011)8421BCD=((0001)8421BCD

×101+(0011)8421BCD

×100)D=(13)D(00010011)B=(1×24+0×23+0×22+1×21+1×20)D=(19)D2第五节逻辑问题的描述

一、自然界中三种基本逻辑关系：1、与逻辑关系：决定某一事物结果的所有条件同时具备，结果才会发生。这一因果关系称与逻辑关系。2、或逻辑关系：决定某一事物结果的诸条件只要有一个条件具备，结果就会发生。这一因果关系称或逻辑关系。3、非逻辑关系：决定某一事物结果的某一条件具备，结果就不发生。这一因果关系称非逻辑关系。逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。2例：这是一个简单的开关串联电路当开关A和B同时闭合时，灯H亮也可以这么看：当开关A、开关B有任一个打开时，灯H灭灯H亮、灯H灭，我们的目的不同，一个是想让灯如何亮；另一个是想让灯如何灭第五节逻辑问题的描述

2想让灯如何亮：当开关A和B同时闭合时，灯H亮条件一：开关A闭合还是不闭合条件二：开关B闭合还是不闭合结果：灯H亮还是不亮条件一具备：开关A闭合；条件一不具备：开关A不闭合条件二具备：开关B闭合；条件二不具备：开关B不闭合结果发生：灯H亮；结果不发生：灯H不亮第五节逻辑问题的描述

2电路状态表运算规则与普通代数完全相同与逻辑关系与运算逻辑乘P=M·N＝MN

我们这样来进行逻辑抽象：用符号M表示条件一（开关A闭合还是不闭合），用符号N表示条件二（开关B闭合还是不闭合），用符号P表示结果（灯H亮还是不亮）。开关A闭合用符号1表示，开关A不闭合用符号0表示。开关B闭合用符号1表示，开关B不闭合用符号0表示。灯H亮用符号1表示，灯H不亮用符号0表示。

第五节逻辑问题的描述

2我们习惯：条件具备用1表示、条件不具备用0表示真值表条件一：开关A打开还是不打开条件二：开关B打开还是不打开结果：灯H灭还是不灭条件一具备：开关A打开；条件一不具备：开关A不打开条件二具备：开关B打开；条件二不具备：开关B不打开结果发生：灯H灭；结果不发生：灯H不灭想让灯如何灭：当开关A、开关B有任一个打开时，灯H灭第五节逻辑问题的描述

2想让灯如何灭：当开关A、开关B有任一个打开时，灯H灭我们习惯：条件具备用1表示、条件不具备用0表示运算规则与普通代数相似

开关A开关B

灯H

不打开不打开

不灭

不打开打开

灭

打开不打开

灭

打开打开

灭MNP000011101111或逻辑关系或运算逻辑加P=M+N

第五节逻辑问题的描述

2例：

或逻辑关系或运算逻辑加第五节逻辑问题的描述

电路状态表开关A开关B灯

不闭合

不闭合不亮

不闭合闭合亮闭合闭合

不闭合亮闭合亮

逻辑真值表ABF001010110111F=A+Ｂ

2例：

与逻辑关系与运算逻辑乘第五节逻辑问题的描述

电路状态表开关A开关B灯

不打开

不打开不灭

不打开打开不灭打开打开

不打开不灭打开灭

逻辑真值表ABF001010110001F=A·B2例：非运算为逻辑代数所特有约定：开关A用符号M表示，灯F用符号P表示。开关A打开用符号0表示，开关A不打开用符号1表示。灯F亮用符号1表示，灯F不亮用符号0表示。

第五节逻辑问题的描述

2二、三种基本逻辑运算以及一些复合逻辑运算三种基本逻辑运算

1、与运算

第五节逻辑问题的描述

2逻辑符号L=A·B

逻辑表达式

逻辑真值表ABL001010110001二、三种基本逻辑运算以及一些复合逻辑运算三种基本逻辑运算

2、或运算

第五节逻辑问题的描述

2

逻辑真值表ABL001010110111L=A+B

逻辑表达式逻辑符号二、三种基本逻辑运算以及一些复合逻辑运算三种基本逻辑运算

3、非运算

第五节逻辑问题的描述

2逻辑符号逻辑表达式

逻辑真值表AL01101、与非第五节逻辑问题的描述

几种复合逻辑运算22、或非第五节逻辑问题的描述

23、异或相同为0，不同为1当异或门的一个输入端为0，比如B=0，输出信号L与输入信号A相等。当异或门的一个输入端为1，比如B=1，输出信号L与输入信号A反相。第五节逻辑问题的描述

24、同或相同为1，不同为0

L=A⊙B=

第五节逻辑问题的描述

5、与或非

2第六节逻辑代数基础2

逻辑代数是用于逻辑分析的数学工具，是采用一套符号来描述逻辑思维，摆脱了冗繁的文字描述。

一套符号

：用字母表示条件、结果，称做逻辑变量（自变量、因变量(逻辑函数))，其取值只有两种可能，用符号0、1表示。普通代数有运算规则，逻辑代数也有一定的运算规律和规则，用这些规律和规则对逻辑表达式进行处理，可以实现对电路的简化、变换、分析和设计。第六节逻辑代数基础一、逻辑代数的基本定律2A+AB=AA(A+B)=A

(A+B)(A+C)=A+BC

冗余定理：

第六节逻辑代数基础根据逻辑代数的基本定律可以推导出一些常用的公式：2例：证明反演律（1）（2）证明：可分别列出两公式等号两边函数的真值表，由于等式两边真值表相同，则等式成立。第六节逻辑代数基础2例：证明证：

第六节逻辑代数基础互补律配项分配律打开幂等律配项结合律合并互补律消去2二、逻辑代数的三个基本规则（一）代入规则（二）反演规则（三）对偶规则第六节逻辑代数基础2对于任何一个成立的逻辑等式，如果将等式两边出现的某变量A，全部用另一个变量或变量的组合来代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

（一）代入规则第六节逻辑代数基础例：B(A+C)=BA+BC，设A=A+D则B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本定律或常用公式的应用范围仍然成立。2

对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。（二）反演规则第六节逻辑代数基础

求一个函数反函数的方法（1）从真值表直接写。（2）应用德摩根定理。（3）应用反演规则直接写。2例：试求

的非函数。解：按照反演规则，得

第六节逻辑代数基础例：试求的非函数。解：按照反演规则，得

运用反演规则时注意以下两个原则：（1）保持原来的运算优先级，先与后或，并优先考虑括号内的运算；（2）对于反变量以外的非号应保留不变。2

（三）对偶规则

对于任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作L’。例:逻辑函数的对偶式为

当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等，这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律成立，其对偶式也成立。第六节逻辑代数基础2小结第五节逻辑问题的描述一、三种基本逻辑关系—与、或、非二、逻辑代数三、三种基本逻辑运算和几种复合逻辑运算与运算或运算非运算与非或非异或同或与或非第六节逻辑代数基础一、逻辑代数的基本定律二、逻辑代数的三个基本规则L=A·B

L=A+B

L=A⊙B代入规则反演规则对偶规则2思考用反演规则直接写出下式反函数：1、2、3、2第七节逻辑函数的五种描述方法一、真值表二、逻辑表达式三、逻辑电路图四、波形图五、卡诺图

描述输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的因果关系的函数称为逻辑函数（二值逻辑函数）。逻辑函数的表示方法：3一、真值表

将输入变量的各种可能取值组合及其对应的输出变量列在一张表上，每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同取值，将这2n种不同的取值组合排列起来，同时在相应位置上填入输出对应的值，便得到逻辑函数的真值表（TruthTable）。3

变量取值组合排列的顺序可以是任意的，但为了不丢失某些组合，常按“二进制递增”的规律进行排列。

真值表中的0、1只表示条件是否具备，结果是否发生，没有数的概念。一、真值表

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立真值表。

分析文字描述，找出逻辑问题的条件和结果，条件为自变量，结果为因变量。3ABCL000000100100011110001011110111112、列真值表解：1、做约定：

三个人的意见为条件，约定分别用A，B，C表示，结果为能否通过，用L表示。

条件：同意用1表示，不同意用0表示；结果：能通过用1表示，不通过用0表示。二、逻辑表达式3

描述逻辑函数和逻辑自变量之间的关系式称为逻辑表达式。逻辑表达式种类：一、最小项表达式二、最大项表达式三、一般逻辑表达式二、逻辑表达式（一）最小项和最小项表达式1.最小项的定义在n个变量的逻辑函数中，若某个乘积项为n个变量的“与”，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称这个乘积项为该函数的一个最小项（minterm），n个变量最小项的个数为2n。3

例如：三个变量A、B、C的逻辑函数，共有8个最小项，分别为：、、、、、、、。2.最小项的编号

把与某个最小项对应的那一组变量取值组合，原变量对应1，反变量对应0，把这样的一组变量取值组合人为看作二进制数（位权任意规定），与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。最小项通常用mi表示，下标i就是最小项编号。如：记作m6。二、逻辑表达式3记作m？0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个变量的所有最小项的真值表

二、逻辑表达式33.最小项的基本性质（1）每一个最小项对应了一组变量取值组合。对于任意一个最小项，只有对应的那一组取值组合使其值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。（2）任意两个最小项之积恒为0，即。（3）全体最小项之和恒为1，即。4.最小项表达式（标准与或式）全部由最小项组成的“与或式”称为逻辑函数的最小项表达式，也称为逻辑函数的标准与或式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最小项表达式，把函数值为1对应的变量取值组合挑出来，在变量取值组合中，1对应原变量，0对应反变量，写出对应的最小项，然后将这些最小项相“或”，便得到最小项表达式。二、逻辑表达式3任何一个逻辑函数的最小项表达式都是唯一的。

从真值表写出最小项逻辑表达式。3二、逻辑表达式1对应原变量0对应反变量例：ABCL00000010010001111000101111011111“三人表决电路”真值表例：将函数展开成最小项表达式。或者L（A，C，B）、L（B，C，A）L（B，A，C）、L（C，A，B）二、逻辑表达式3=m7+m6+m3+m11.最大项的定义:

在n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量的“或”，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称M为该组变量的最大项。（二）最大项和最大项表达式二、逻辑表达式

例如：三个变量A、B、C的逻辑函数，共有8个最大项，分别为：、、、、、、、。32.最大项的编号

把与最大项对应的那一组变量取值组合，原变量对应0，反变量对应1，把这样的一组变量取值组合人为看作二进制数（位权任意规定），与其对应的十进制数，就是该最大项的编号。最大项通常用Mi表示，下标i就是最大项编号。101M5

二、逻辑表达式3记作

M？

M1

二、逻辑表达式3.最大项的性质三个变量的所有最大项的真值表

33.最大项的性质（1）每一个最大项对应了一组变量取值组合。对于任意一个最大项，只有对应的那一组取值组合使其值为0，而其余各种变量取值均使它的值为1。（2）n个变量的全部最大项的“与”恒为0，即

（3）n个变量的任意两个不同的最大项的“或”必等于1，即二、逻辑表达式34.最大项表达式——标准或与式

在一个“或与式”中，如果所有的或项均为最大项，则称这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、标准和之积表达式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最大项表达式，把函数值为0对应的变量取值组合挑出来，在变量取值组合中，0对应原变量，1对应反变量，写出对应的最大项，然后将这些最大项相“与”，便得到最大项表达式。二、逻辑表达式3二、逻辑表达式例：3

从真值表写出最大项逻辑表达式0对应原变量1对应反变量ABCL00000010010001111000101111011111（三）最小项与最大项之间的关系变量个数相同、编号相同的最小项和最大项之间存在互补关系，即

二、逻辑表达式3（四）两个最小项的逻辑相邻如果两个最小项中只有一个变量不同，其余的完全相同，则称这两个最小项为逻辑相邻的最小项。对两个逻辑相邻的最小项做“或”运算，可以消去那个不同的变量。二、逻辑表达式3（五）两个与项（乘积项）的逻辑相邻如果两个与项中只有一个变量不同，其余的完全相同，则称这两个与项为逻辑相邻的与项。对两个逻辑相邻的与项做“或”运算，可以消去那个不同的变量。二、逻辑表达式3（六）一般表达式既不是最小项也不是最大项的表达式二、逻辑表达式3三、卡诺图卡诺图是美国工程师卡诺发明的一种逻辑函数的图形描述方法。3卡诺图的目的是为了化简逻辑函数。（一）卡诺图的结构：

将逻辑函数的真值表重新排列成矩阵的形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按格雷码的顺序排列，这样构成的图形称为卡诺图。三、卡诺图1．两变量逻辑函数的卡诺图对最小项的编号采用了（A，B）的顺序3卡诺图实际上是真值表的一种变形，一个逻辑函数的真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格，每个最小项各用一个小方格表示。变量取值组合变量组合形式最小项编号形式最小项编号2.三变量逻辑函数的卡诺图对最小项的编号采用了（A，B，C）的顺序三、卡诺图33.四变量逻辑函数的卡诺图对最小项的编号采用了（A，B，C，D）的顺序三、卡诺图3

四、五变量逻辑函数的卡诺图五、六变量逻辑函数的卡诺图*不要求三、卡诺图3（二）逻辑函数在卡诺图中的表示三、卡诺图

如果逻辑函数是以真值表或最小项表达式给出，在卡诺图上将给定的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格填入0。3

如果逻辑函数是以一般表达式给出，可以先转化为最小项表达式，然后填图；或者转化为一般与或式，然后在卡诺图上找出每一个乘积项所包含的那些最小项对应的方格填入1，其余的填入0。（二）逻辑函数在卡诺图中的表示三、卡诺图真值表3卡诺图（二）逻辑函数在卡诺图中的表示三、卡诺图3卡诺图表达式四、逻辑电路图

用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图。3例：五、时序图

用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图表示电路的逻辑关系。3

在波形图中一定要将变量的所有取值组合全部给出才能完整地描述逻辑函数。

波形图常用于数字电路的分析和调试中。00000010时钟周期五、时序图

用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图表示电路的逻辑关系。3

在波形图中一定要将变量的所有取值组合全部给出才能完整地描述逻辑函数。

波形图常用于数字电路的分析和调试中。00000010时钟周期ABCL小结第七节逻辑函数的五种描述方法

描述输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的因果关系的函数称为逻辑函数（二值逻辑函数）。一、真值表二、逻辑表达式（一）最小项和最小项表达式：与项相加-标准与或式（二）最大项和最大项表达式：或项相与-标准或与式（三）最小项和最大项的关系：（四）两个最小项的逻辑相邻：（五）两个与项（乘积项）的逻辑相邻：三、卡诺图（一）卡诺图的结构（二）逻辑函数在卡诺图中的表示四、逻辑电路图五、时序图3逻辑函数的表示方法：（1）（2）（3）用卡诺图表示下列各式思考3第七节逻辑函数的五种描述方法

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立真值表。ABCL00000010010001111000101111011111ABCL第八节逻辑函数的化简一