勒让德多项式

数学物理方法

勒让德多项式(Legendrepolynomials)第六章

阿德利昂·玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。

勒让德(Legendre)曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“三L”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了卓越的贡献。勒让德（1752～1833）

Legendre.Adrien-Marie

勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。在L.欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。但他未能像N.H.阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数

，即椭圆函数。在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式”

，发现了它的许多性质

。他还研究了B函数和Γ函数，得到了Γ函数的倍量公式。他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”。

勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。

§6.1勒让德方程的引出●●球函数●●球函数§与贝塞尔方程比较§6.2勒让德方程的求解为什么k仍然从零开始求和？表面上没有变化，但实质上已经变化。注意：先作分子的多项式乘法；然后取C=0；最后提取公因式即得。C——昙花一现！（推导另附）令c=0附:推导记为通解本小节结束语：§6.3勒让德多项式解决了收敛的问题！无穷级数被截断，变成了多项式。解决了收敛的问题！——无穷级数被截断，变成了多项式。提出问题处理矛盾转机数学归纳法：数学上证明命题的一种方法。为了证明与自然数n有关的一个命题，一般先对n=1时，检验命题成立；然后证明当n=k+1时，命题仍然成立，那么就可以断定这个命题对于任何自然数都成立。解决了展开系数的问题！——合二而一，简洁、明快。（幂次由低到高排列）（幂次由高到低排列）（幂次由低到高排列）（幂次由高到低排列）犹如天作之合也问题:如何具体写出勒氏多项式.问题:如何具体写出勒氏多项式.点电荷的电势电偶极子的电势问题：Pn(x)的最高幂次是？请同学们务必记住这两个结论！证问题:如何具体写出勒氏多项式.小结§6.3（增加）勒让德多项式的母函数（生成函数）及递推公式§6.3.1勒让德多项式的母函数（又名为：生成函数）函数●●AllRoadsLeadtoRome●勒让德多项式的母函数（又名为：生成函数）的证明方法之二证AllRoadsLeadtoRome.参阅：排列、组合、二项式定理。AllRiversLeadtoOcean.§6.3.2勒让德多项式的递推公式证例例原本定义：n=0,1,2…,为何要对n提出限制？唯有n=0特殊！——将函数展开成无穷级数，旨在：计算函数的近似值；解常微分方程。§6.4函数展成勒让德多项式的级数§6.4.1勒让德多项式的正交性下列结果是基本的:第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间(-1<x<1)上的正交性.第二式说明了任何两个相同的勒让德多项式在区间(-1<x<1)上的归一性.（1）正交性.证明（2）归一性.证明§6.