四川省眉山市东坡区眉山冠城七中实验学校2023-2024学年高二上学期开学数学试题（含答案）

2023-2024学年眉山冠城七中实验学校高二第一学期入学测试数学试题卷考试时间：120分钟；满分：150分。考试范围：必修第五章至第九章。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的，，三所中学抽取80名学生进行调查，已知，，三所学校中分别有400，560，320名学生，则从学校中应抽取的人数为（）A.10 B.20 C.30 D.402.向量，的夹角为60°，且，，则（）A.4 B.2 C.-2 D.13.复数的虚部是（）A. B. C. D.4.为了得到函数的图象，只需要把函数图象（）A.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则7..已知向量，，若函数，，则的零点之和等于（）A. B. C. D.8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.若，，则面积的最大值为（）A. B.1 C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知向量，，下列命题中正确的有（）A. B.C. D.10.小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子.如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图.根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A.小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍B.小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍C.小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年D..小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，，则的面积是312.如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中正确的是（）A.平面 B.平面C.与所成角为60° D.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，若，共线，则_________.14.已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52.若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则_________.15.已知，为锐角，且，，则的值为_________.16..如图，已知球的面上四点，，，，平面，，，，，则球的表面积等于_________.四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本大题共10分）已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数以及模.18.（本大题共12分）已知函数.（1）当时，求的取值范围；（2）若锐角，满足，，求.19.（本大题共12分）为保护水资源，节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.从该市随机抽取100户居民进行月用水量调查，发现每户月用水量都在至之间，其频率分布直方图如图所示.（1）求的值.（2）估计这100户居民月用水量的中位数.（结果精确到0.1）（3）该市每户的月用水量计费方法：每户月用水量不超过时按照3元/计费；超过但不超过的部分按照5元/计费；超过的部分按照8元/计费.把这100户居民月用水量的平均数作为该市居民每月用水量的平均数，估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）参考数据：7.5×0.12+12.5×0.18+17.5×0.3+27.5×0.12+32.5×0.06=13.65.20.（本大题共12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围.21.（本大题共12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.22.（本大题共12分）在中，角，，所对的边分别为，，，是内的一点，且.（1）若是的垂心，证明：；（2）若是的外心，求.参考答案：1.B2.D3.A4.B5.A6.D7.C8.C9.AC或只选C，都算全对10.AD11.AB12.AD13.614.15.16.17.（1）由题意，它为纯虚数，则，∴，∴；（2），.18.【详解】（1），因为，则，所以，所以.（2）由第（1）问知，所以，因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以.19.【详解】（1）由频率分布直方图知数据落在内的频率为，所以；（2）估计这100户居民月用水量的中位数为.因为，，所以.由，可得.（3）估计该市每户居民月用水量的平均数为，故估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额为（元）.20.【详解】（1）因为，且，则，可得，整理得，所以.（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面积.（3）由正弦定理，可得，，则，因为为锐角三角形，且，则，解得，则，可得，则，所以的取值范围为.21.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：连接，由（I