工程力学2016 11工力总结c2015

1工程力学的研究目的：“了解工程系统的性态并为其设计提供合理规则”。

“工程力学”

课程总结2工程力学杆(拉压)、轴(扭转)、梁(弯曲)的强度与刚度一、研究思路和内容变形体静力学几何协调平衡方程物理方程内力应力应变变形刚体静力学研究对象、约束分析受力图、力系的简化平衡方程及其应用材料性能s-e关系物理模型强度指标强度条件强度设计组合变形问题压杆稳定问题疲劳断裂问题3考试大纲静力学部分：受力图，平面一般力系求解；注意：力的正确标注，二力杆，静不定问题判断，桁架计算，平衡方程的充分必要条件应用,简单空间力系求解等。材料力学部分：拉压计算、静不定问题；剪切挤压面的判定，特别注意双剪的问题；连接件强度计算；扭转强度、刚度计算；弯曲内力图，弯曲应力，弯曲强度、刚度计算；应力状态，简单组合变形计算。注意：1.弄懂课上例题，作业题；认真总结所讲概念；

2.注意内力正负号，内力图，单位制，解题步骤。闭卷4复习建议：1基本概念各章思考题2基本方法总结分析计算习题是否会做？错在那里？5二、刚体静力学三个基本概念：力力偶约束三组平衡方程：一般力系汇交力系平行力系三类基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三种基本能力：力的投影力对点之矩受力图6正确画出受力图的一般步骤为：选取研究对象解除其约束，将研究对象分离出来画出已知外力(力偶),按约束类型画出约束反力是否有二力杆注意作用力与反作用力的关系注意部分与整体受力图中同一约束处反力假设的一致性2.1受力分析只有整体受力图可画在原图上！取分离体画受力图72.2力系的简化与平衡问题任何力系均可简化（利用平移定理），对于平面力系，简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。只有简化后主矢和主矩均为零的力系，才是平衡力系。处于平衡的研究对象，其受力必需满足平衡方程。

无论是否平衡，求合力，求合力偶，都是力系的简化问题。其基本定理是合力投影定理，合力矩定理。（包括分布载荷的合成）只要物体处于平衡，求约束力，求内力，都是力系的平衡问题。其基本方程是平衡方程。重点8组合法求平面图形的重心。力系的合成或简化问题xO(m)y(m)22242F1=6kNF2=10kNF3=15kNF4=8kNM=12kN.m4求图示力系的合力。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRxaaaxCWaaW1W2W3129力系的平衡问题求平衡时之P、Q关系。4560

ABCDF1F2ABCFayxO求夹紧力求约束反力。ABCF

q2aaa45

AOMCFmineaL求Fmin。102.3静定与静不定问题约束反力数：m；系统中物体数n；

<3n未完全约束

m=3n静定问题

>3n静不定问题静不定次数为：k=m-3n有3n-m种运动的可能，或平衡时须3n-m个限制。由平衡方程可确定全部约束力仅由平衡方程不能求得全部约束力，需考虑变形。60

ABCDF1F28-3

3=-1未完全约束ABCF

q6-3

2=0静定问题aaaDACBGK10-3

3=1一次静不定11求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：弄清题意，标出已知量画整体受力图列平衡方程，能否求解？选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。检查结果，验算补充选取适当研究对象，画受力图，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶m在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为m。12三、变形体静力学主线：力的平衡;变形几何协调;力与变形之关系。三组方程：力的平衡方程;与材料无关。变形几何协调方程;与材料无关。应力—应变关系；与材料有关。研究内容：内力：应力：应变：变形：用截面法、平衡方程求解。

=FN/A，t=T/WT，

=M/Wz，几何相关e=/E，…，材料相关.Dl=FNl/EA，q=T/GIr,…材料、几何相关研究目的：构件的强度与刚度，控制设计。13求约束反力截取研究对象画受力图，内力按正向假设.列平衡方程求解内力，列内力方程，画内力图。3.1截面法求内力：FN，T，FS，M必须掌握的基本方法内力图封闭

?145kN5kN3kNFN

图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。xoCABT图FN图（轴力）按右手法确定+向15FS、M图的简捷画法：1）确定控制点。约束力、集中力(偶)作用点，分布载荷起止点。2）计算控制点处FS、M值。3）依据微分关系判定控制点间各段FS、M图形状，连接各段曲线。CADBM／kNmOxFS

/KNxoC、A、D、B201515左边面积+集中载荷力、力偶为正。15105RB=15kNRA=35kN163.2变形体力学分析方法变形体静力学问题研究对象受力图平衡方程求反力？静不定物理方程几何方程静定求内力应力求变形物理求位移几何联立求解反力、内力、应力变形、位移等强度与刚度校核截面设计许用载荷材料相关材料无关173.3应力、变形、强度与刚度：应力拉压杆

=FN/AFNs弯曲梁OMmaxs矩形圆形抗弯截面模量：扭转轴oMT抗扭截面模量：圆形应力的符号或方向由内力的方向或正负判断。18应力、变形、强度与刚度：单位扭转角扭转轴变形s=Ee时Dl=Nl/EA

拉压杆伸长或缩短弯曲梁挠曲线微分方程转角刚度条件Dl=[Dl]

强度条件19拉压强度条件

=FN/A

[

]=

s/n

延性材料

b/n

脆性材料拉、压杆件；被连接件

=FS/A

[

]A

为剪切面面积

剪切强度条件连接件

bs=Fbs/Abs

[

bs]Abs

为计算挤压面积挤压强度条件连接件、被连接件

=FS/A>

b剪断条件工件、连接件连接件强度：20强度设计的一般方法：1）构件处处都要满足强度条件。危险截面？2）系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？初步设计设计目标平衡方程变形几何条件应力应变关系内力应力强度条件满意？结束YESNO修改设计强度计算材料试验极限应力选取安全系数许用应力21四、应力状态、强度理论、组合变形sxxysxsysytyxtxy平面应力状态，sz

=0。主应力xys1s3s3s1s2=0最大切应力：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü最大拉应力s1最大正应变:e1=[s1-m(s2+s3)]/E22强度理论汇总：s

=s

1r1s

理论1s=s-m

(s+s)

1r232e

理论1s=s-s

1r33t

理论maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2u

理论S破坏屈服常用

s>s,s<0311常用相当应力s

[s]

r强度条件的一般形式：工作应力

许用应力脆性破坏[s]=s/nb塑性屈服[s]=s/nys231.研究方法线弹性小变形叠加法s=M/W;t=T/WT拉/压、弯、扭圆轴弯、扭MxxyzMzoMy拉/压、弯xyzAMyFNMzFN内力FN

；My

；Mz

T；My；Mz圆轴合成弯矩M应力状态ss强度条件

[s]

[s]

max拉max压拉压同弯扭组合单向sstt平面+FN危险点应力yyzzNWMWMAF++=s][3][4224223stssstss£+=£+=rrt=T/WTWMAFN+=s组合变形：24PP/2P/2连销CP2P2YCXCTDNDEENEDCBEAYAXABYBXBDYDXDDND受力分析EBDCHIPAGNDTYAXA例1XDNDYDN

ED25例2：三杆结构如图,求杆CD之应力、应变与变形。解：画整体受力图，列平衡方程有：

mA(F)=2aFB+FDa-2qa2=0CBqFACyFDFBFACx=0取BC、CD二杆研究，有：

mC(F)=FBa-qa2/2=0解得：FB=qa/2；FD=qa杆CD之应力与变形为：

CD=FD/ACD；eCD=CD/ECD

DlCD=FDlCD/ECDACD

aaDACBqFDFBFAyFAx=026例3：杆BG、CK长l,面积A；求CK之应力与变形。aaaDACBGKF解：整体平衡方程有：

mA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0变形几何协调方程为：

DlCK=2DlBG；应力应变关系为

=Ee，有：

DlCK=F2l/EA；

DlBG

=F1l/EA；联立解得：F2=2F1；F1=3F/5，F2=6F/5，应力为：CK=6F/5A；变形为：DlCK=6Fl/5EA(缩短)Fax=0FAyF1F227例4:图中AK=BK=L，求各杆内力。变形协调条件ABCDK45

FLL12345

L1

L3

LAB

L1=L3=LABcos45解：受力分析A4545132F2F1=F3F2+2F1cos45

=0F3F1平衡方程：ABKFFBF2F2+F

+FN图F2F1L/EAcos45=(2F2+F)Lcos45/EAF1=F2+F/2F1-F/2+2F1cos45=0F1=0.208F

LAB=LAK+LBKFB=F2+FF2=-0.294FFB=0.706F28例5:

截面积A=200mm2的杆，距右端刚性支承有间隙

=0.025mm，E=200GPa。求受力F=20kN后二端的支承反力。3）变形协调条件：

LAC-

LCB=D

即：(FALAC-FBLCB)/EA=D

FA-2FB=DEA/LAC--(2)1、2二式相减，有：

3FB=F-DEA/LAC=20×103-0.025×2×105×200/100=10×103NFB=3.3kN；FA=16.7kN解：1)施加F力后杆的伸长：

L=F

LAC/EA=20×103×100/(2×105×200)=0.05mm>D

N-mm-Mpa系

100mm200mmFACB2)力的平衡：FA+FB=F--(1)FAFB29AFFADFABBFCBFBDFABFt1t2d例6：铰接正方形铸铁框架，各杆直径均为d。[

]压=3[

]拉,试求Fmax并设计销钉C的尺寸。解：研究A点平衡，有：SFy=0

FAB=FAD

(=FCB=FCD)SFx=0

FAB=0.707F(拉)研究B点平衡，有：

FBD=-2FABcos45

=-F(压)

剪切：FS/A=FCB/(

d2/4)

[

];d

?挤压：Fbs/Abs=FCB/t1d

[

bs];t1

?

Fbs/Abs=F/t2d

[

bs];t2

?设计销钉的尺寸?（以销C为例）

Fmax=min{0.707F1/A=[

]拉,F2/A=[

]压

}FaABCDFCFFCDFCBCFCBFS30例7：刚性梁AB支承如图，试设计销钉A的尺寸。解：

1)力的平衡条件：

MA(F)=2aF1cos30

-3Fa=0

Fx=-FAcosa+F1sin30

=02)变形几何协调条件：

2/cos30

=2

1,3)物理方程…设计A处挤:Fbs=FA；Abs=t2d;

Fbs=FA/2;Abs=t1d;剪:FS=FA/2;A=(

d2/4);aBALaa30

FFAF1at1t2dFAFSaBALaa30

FCD解：

1)力的平衡条件：

FAx+F1sin30

=0

FAy+F1cos30

+F2-F=0

F2a+2aF1cos30

-3Fa=0F1FAxFAyF2

1

231例8：铰接正方形框架，各杆EA均相同，且[

]压=[

]拉,AC杆比名义长度短d,要强迫装配。试设计杆的截面积A和销钉的尺寸。解：研究A点平衡，有平衡方程：

FAB=FAD

(FCD=FCB

)

2FABcos45

=-FAC;研究B点平衡，有：

FBD=-2FABcos45

；FBD=FAC；

-e关系：

=Ee

DLAC=FACLAC/EA;DLAD=FADLAD/EA强度条件：A

FAC/[

]拉；(FAC

FAB=FAD)aABCDdAFACFABFADBFBDFBCFAB

水平位移uA=DLAD/cos45

=uC;ACDuAuC

d/2DLAC/2变形协调条件：uA+uC+DLAC=d32例8：铰接正方形框架，各杆EA均相同，且[

]压=[

]拉,AC杆比名义长度短d,要强迫装配。试设计杆的截面积A和销钉的尺寸。求出内力且知：

FAB=FAD

；FCD=FCB；FBD=FAC；剪切：FS/A=FCB/(

d2/4)

[

];d

?挤压：Fbs/Abs=FCB/t1d

[

bs];t1

?

Fbs/Abs=FAC/t2d

[

bs];t2

?设计销钉的尺寸?（以销C为例）aABCDdt1t2dCFFCDFCBCFCBFS33例9

图中板厚t1=5mm,t2=12mm,钉径d=20mm。已知钉、板材料均有[

]=160MPa,[

bs]=280MPa,[

]=100MPa。若F=210kN，试求需用的铆钉个数n。由平衡方程有：

nFS=F/2，即FS=F/2n。解：1)考虑剪切沿剪切面切取上板，如图。n个铆钉F/2FF/2t1t2由剪切强度条件有:

=FS/(

d2/4)=2F/n

d2

[

]

故得：

n

2F/

d2[

]=2×210×103/3.14×202×100=3.34F/2FSFSFS34故为满足剪切和挤压强度，应有

nmax{n剪,n挤}=3.75,可取n=4。注意，上述分析中未考虑中间板。因为板[

]相同，t2>2t1；虽然中间板挤压力为上、下板的2倍，仍可判断其挤压、拉伸应力均小于上、下板。2)考虑挤压钉、孔[

bs]相同，考虑其一即可。板孔边挤压力如图，F/2FbsFbsFbs有平衡方程:

SFx=F/2-nFbs=0Fbs=F/2n。挤压面为圆柱面，有效挤压面积为t1d。强度条件：

bs=F/2nt1d

[

bs]即：n挤

F/2t1d[

bs]=210×103/2×5×20×280=3.75n个铆钉F/2FF/2t1t235F/2对于菱形布置，有：

=F/2t1(b-d)

[

]即得：b

d+F/2t1[

]=152mm。F/8F/2菱形排列轴力图F/43)设计板宽b4个铆钉可布置成一排或二排。若布置二排，有矩形和菱形二种排列如图，则危险截面在虚线处。对于矩形布置，考虑板拉压有:

=F/2t1(b-2d)

[

]即得：b

2d+F/2t1[

]=40+210×103/2×5×160=172mmF/4F/2矩形排列轴力图只要使外力的作用线通过钉群图形的形心，则可假定各钉受力相等。F/2Fbs=F/836问题讨论：木榫接头如图。接头总高度h给定，试设计其他尺寸。解：剪切：

FS=F；A=ab；

=FS/A

[

];ab

F/[

]

拉伸：FN=F；A=(h-t)b/2;

=FN/A

[

];(h-t)b/2

F/[

]挤压:Fbs=F;Abs=tb

bs=Fbs/tb

[

bs];tb

F/[

bs]

aabthaFFahFF37例11.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m

MC=100N·m，材料G=80GPa，试求（1）轴内的最大切应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-MPa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m382)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m3)计算扭转角

ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=PPjN-mm-MPa单位制39例12.梁AC、CB在C处铰接，试作内力图。解：1.求支座反力3）检查图形是否封闭。qFAFCCA研究AC段：F=qa/2A研究整体：F=3qa/2BMB=qa(3.5a)+qa(2a)-4aFA-qa2=2.5qa2

2）计算控制点的FS、M

值，由微分关系判断图形。xFS0.5qa1.5qaxO

M2.5qa2qa/8

2O

0.5qa0.5qa22qa2CBAqa2qaqaaaaFAFBMBFC=？40例13.欲使梁中弯矩值最小，a=?解1）求反力：FA

=

FB

=qLq2a2LABFAFB2）画内力图：FSq(L-a)q(L-a)MqLa-qL2/2q(L-a)2/2qaqaqAFSAMA=-q(L-a)2/2MC

=qLa-qL2/2FAC:中截面qFSC梁中弯矩最小，应有：

q(L-a)2/2=qLa-qL2/2解二次方程得：

a=0.586L

(另一根不合理，请自行分析)返回主目录411）列平衡方程：SFy=FA+FB=ql---(1)SMA(F)=FBl-ql2/2-MA=0---(2)2个方程，3个未知约束力，一次静不定问题。例14.求梁AB的最大挠度。qABlxyFAFBMA解：梁受力如图。2）变形几何条件：

A端固定：yA=0，qA=0；B端铰支：

yB=03）物理方程：用s=Ee，研究弹性小变形问题。有挠曲线近似微分方程：EIzy

=M(x)---(3)424）联立求解。与拉、扭不同的是变形需积分获得。弯矩方程为：

M(x)=MA+FAx-qx2/2qABlxyFAFBMA代入(3)式，积分后得到：转角方程：EIzq=MAx+FAx2/2-qx3/6+C1

挠度方程：EIzy=MAx2/2+FAx3/6-qx4/24+C1+C2利用变形几何条件（边界条件），有：

x=0时，q=0，

C1=0；x=0时，y=0，

C2=0

x=l时，y=0，

MAl2/2+FAl3/6-ql4/24=0--(4)434）联立求解：平衡方程：SFy=FA+FB=ql---(1)SMA(F)=FBl-ql2/2-MA=0---(2)几何方程：MA+FAl/3-ql2/12=0--(4)解得：FA=5ql/8；FB=3ql/8；

MA=-ql2/8；代回转角、挠度方程，有：转角方程：EIzq=-ql2x/8+5qlx2/16-qx3/6挠度方程:EIzy=-ql2x2/16+5qlx3/48-qx4/24令转角为零，有：6l-15lx+8x2=0解得x=0.444l

（另一根不合理，舍去）445）求最大挠度：挠度方程:EIzy=-ql2x2/16+5qlx3/48-qx4/24转角为零处，x=0.444l将x=0.444l代入挠度方程，得到最大挠度为：

y

max=0.0048ql4/EIz

（向下）讨论qABlxylAqxBy例9.14y

max=0.125ql4/EIzy

max=0.0048ql4/EIzM

max=9ql2/128M

max=ql2/245综合问题例15.矩形截面木梁如图，b=12cm，h=30cm[s]木=10MPa；钢杆CD截面积A=2cm，[s]钢=160MPa，a=1m，求Fmax。aaaDACBFFDFAxFAy解：整体平衡方程有：SmA(F)=FDsin45

a-2Fa=0

FD=2

F

SFx=FAx-FDcos45

=0SFy=FAy+FDsin45-F=0

FAx=2F；FAy=-F2杆CD受拉：由强度条件有

=FD/A=2F/A[]钢

FA[]钢/2=200160/2=11.3kN22246杆CD受拉：

F11.3kN综合问题例15.矩形截面木梁如图，b=12cm，h=30cm[s]木=10MPa；a=1m，求F