甘肃省天水一中高二下学期开学数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年甘肃省天水一中高二(下）开学数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共45分）1．设x∈R,则“x＞"是“2x2+x﹣1＞0”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q:∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p)∧(￢q)3．函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4) D．（2，+∞）4．平面α的一个法向量=（1,﹣1，0）,则y轴与平面α所成的角的大小为（）A． B． C． D．5．已知向量=(1，1,0),=（﹣1，0,2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（)A．1 B． C． D．6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣47．函数f（x)的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b)内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．函数f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a,b）为（）A．（3，﹣3） B．(﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在9．f（x)，g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g(x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．(﹣∞,﹣3)∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0)∪（3,+∞） D．（﹣3，0）∪(0，3）二、填空题(每题5分，共15分)10．已知双曲线的一条渐近线为,则a=．11．函数f(x）=x3﹣3x2+m在区间[﹣1，1］上的最大值是2,则常数m=．12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是．三、解答题（共40分）13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．14．已知函数f（x）=x﹣alnx(a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f(x）在点A（1，f（1)）处的切线方程；(2）求函数f（x）的极值．15．已知椭圆C:(a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

2016—2017学年甘肃省天水一中高二(下)开学数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共45分）1．设x∈R,则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0"的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0"的充分而不必要条件．故选A．2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2,命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是(）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】本题的关键是判定命题p：∃x∈R,使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定．【解答】解:对于命题p：∃x∈R,使得，当x＜0时,命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真,(￢p）∧q为假，p∧(￢q）为假，(￢p）∧（￢q）为假3．函数函数f（x）=（x﹣3)ex的单调递增区间是(）A．（﹣∞，2） B．（0,3) C．(1,4） D．（2，+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=(x﹣3）ex求导,可得f′（x）=(x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解:f′(x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选:D．4．平面α的一个法向量=（1,﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为(）A． B． C． D．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．【分析】设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，∵在y轴上的单位向量=（0，1,0），平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），∴sinθ=|cos＜，＞｜=｜|=，∴θ=．故选：B．5．已知向量=（1，1，0）,=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量=(1，1，0），=（﹣1，0,2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1,0，2）,∴k+=k(1,1,0）+（﹣1,0，2）=（k﹣1，k，2）,2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1,0，2)=（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直,∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故选：D．6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意得：抛物线焦点为F（,0），准线方程为x=﹣．因为点M（1,m）到其焦点的距离为5，所以点M到抛物线的准线的距离为：，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px∴抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣又∵点M（1，m）到其焦点的距离为5,∴p＞0，根据抛物线的定义,得，∴p=8，所以准线方程为x=﹣4故选D7．函数f（x）的定义域为（a，b）,其导函数f′（x）在（a，b)内的图象如图所示，则函数f（x)在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】根据当f'(x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f(x)单调递减，可从f′（x)的图象可知f(x）在（a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案【解答】解：从f′（x）的图象可知f(x）在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在(a，b)内只有一个极小值点．故选：D．8．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4,11） D．不存在【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b,又∵在x=1时f(x）有极值10,∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值,故选B．9．f(x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时，f′（x）g(x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x)＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3)∪(0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．(﹣3,0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0)∪（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】构造函数h(x)=f(x)g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性,进而即可得出不等式的解集．【解答】解:令h（x）=f（x）g（x)，则h（﹣x)=f（﹣x)g（﹣x)=﹣f（x）g（x)=﹣h(x)，因此函数h（x)在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x)g(x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3)g(﹣3)=0，∴h（x)=f(x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x)在R上是奇函数，可知：h（x)在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3)=0，∴h（x）＜0，的解集为(0，3)．∴不等式f（x）g（x)＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪(0，3）．故选：A二、填空题(每题5分，共15分）10．已知双曲线的一条渐近线为,则a=．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出渐近线方程，与已知方程比较即可求出a的值．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,可知=，∴a=，故答案为：．11．函数f（x)=x3﹣3x2+m在区间［﹣1，1]上的最大值是2,则常数m=2．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出函数的最大值是f（0）=m，则m值可求．【解答】解:f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）＞0,解得：x＞2或x＜0，令f′（x)＜0，解得：0＜x＜2,∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1］递减，∴f（x）max=f（0）=m=2，故答案为：212．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的距离的最小值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离．【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标,再利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：设P(x,y），则y′=2x﹣（x＞0)令2x﹣=1，则（x﹣1）（2x+1）=0，∵x＞0,∴x=1∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为(1,1）由点到直线的距离公式可得d==故答案为:三、解答题（共40分)13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ)依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜,＞，根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;(Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0,0，1）,P（0，2,0）；则=（1，1,0)，=（0,0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0;即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意,有B(1,0，1),=（1,0,0)，=（﹣1，2，﹣1)；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即,因此可取=（0，﹣1，﹣2)；设是平面PBQ的法向量，则，可取=(1,1，1)，所以cos＜，＞=﹣,故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．14．已知函数f（x）=x﹣alnx(a∈R)(1）当a=2时，求曲线y=f(x）在点A（1，f（1))处的切线方程;（2）求函数f(x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】(1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′(x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增,函数无极值,当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f(x）的定义域为（0，+∞），．(1)当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1,f′(1）=﹣1，所以曲线y=f(x）在点A(1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣(x﹣1)，即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知:①当a≤0时，f′（x)＞0,函数f（x）为（0,+∞）上的增函数，函数f（x）无极值;②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0,a)时，f′（x）＜0，当x∈(a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x)在x=a处取得极小值,且