2023届高考数学二轮复习微专题36三次函数的图象与性质作业

微专题36三次函数的图象与性质1.(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________．2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2是R上的增函数，则实数m的取值范围为________．3．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋ax＋b在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f(x)＜eq\f(1,6)b2＋2b恒成立，则实数b的取值范围为________．4．已知曲线f(x)＝x3，则过点P(1，1)的曲线f(x)的切线方程为________．5．若函数f(x)＝x3－3x在开区间(a，6－a2)既有最大值又有最小值，则实数a的取值集合为________．6．已知曲线f(x)＝x3，设曲线f(x)在A(1，1)处的切线l1交曲线f(x)于B，曲线f(x)在B处的切线为l2，曲线f(x)在O(0，0)处的切线l分别交l1，l2于M，N，则eq\f(NO,MO)的值为________．

7.设函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值；(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2；若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求实数m的取值范围．8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)，设直线l1，l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线．(1)若函数f(x)为奇函数，且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a，b，c，d的值；②若直线l3亦与曲线y＝f(x)相切，且三条不同的直线l1，l2，l3交于点G(m，4)，求实数m的取值范围；(2)若直线l1∥l2，直线l1与曲线y＝f(x)切于点B且交曲线y＝f(x)于点D，直线l2和与曲线y＝f(x)切于点C且交曲线y＝f(x)于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，求(xA－xB)∶(xB－xC)∶(xC－xD)的值．微专题361．答案：y＝x.解析：∵函数f(x)是奇函数，∴a－1＝0，即a＝1，∴f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1∴f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.2．答案：[2，4]．解析：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4.3．答案：(－∞，－7)∪(1，＋∞)．解析：由f′(x)＝x2－x＋a且f′(2)＝0，得a＝－2，∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x＋b，∴f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝eq\f(7,6)＋b，∴eq\f(7,6)＋b＜eq\f(1,6)b2＋2b，即b2＋6b－7＞0，解得b＜－7或b＞1.4．答案：y＝3x－2或y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4).解析：f′(x)＝3x2，设切点为(x0，x03)，切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，将P(1，1)代入切线方程得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)，∴过点P(1，1)的f(x)的切线方程为y＝3x－2或y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4).5．答案：{2}．解析：函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－2，在x＝－1处取得极大值f(－1)＝2，又∵函数f(x)在开区间(a，6－a2)内既有最大值又有最小值，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＜－1，,1＜6－a2≤2，))即a的取值集合是{2}．6．答案：2.解析：∵f′(x)＝3x2，则A(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即l1：y＝3x－2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，))由x3－3x＋2＝0，即(x－1)2(x＋2)＝0，得xB＝－2，即B(－2，－8)，则B(－2，－8)处的切线方程为y＋8＝12(x＋2)，即l2：y＝12x＋16，又∵曲线f(x)在O(0，0)处的切线l为y＝0，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，0))，∴eq\f(NO,MO)＝2.(注：此题可推广到一个一般结论：已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，设A为曲线上除对称中心外的任一点，曲线f(x)在A处的切线l1交曲线f(x)于B，曲线f(x)在B处的切线为l2，曲线f(x)在对称中心O′处的切线为l，设l分别交l1，l2于M，N，则eq\f(ON,MO)＝2.)7．答案：(1)1；(2)(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)上递减，在(1－m，1＋m)上递增，极大值为eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3)，极小值为－eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3))).解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，∴f′(1)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得x＝1－m，x＝1＋m，∵m＞0，∴1＋m＞1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－m)1－m(1－m，1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内为减函数，在(1－m，1＋m)内为增函数．函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3)；函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3).(3)由题设，f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋x＋m2－1))＝－eq\f(1,3)x(x－x1)(x－x2)，方程－eq\f(1,3)x2＋x＋m2－1＝0由两个相异的实根x1，x2，故x1＋x2＝3，且Δ＝1＋eq\f(4,3)(m2－1)＞0，解得m＜－eq\f(1,2)(舍去)或m＞eq\f(1,2)，∵x1＜x2，∴2x2＞x1＋x2＝3，∴x2＞eq\f(3,2)＞1，若x1≤1＜x2，则f(1)＝－eq\f(1,3)(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0，不合题意；若1＜x1＜x2，则对任意x∈[x1，x2]有x－x1≥0，x－x2≤0，则f(x)＝－eq\f(1,3)x(x－x1)(x－x2)≥0，又∵f(x1)＝0，∴函数f(x)在x∈[x1，x2]的最小值为0，∴f(1)＝m2－eq\f(1,3)＜0，解得－eq\f(\r(3),3)＜m＜eq\f(\r(3),3).综上，m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3))).8．答案：(1)①a＝2，c＝－6，b＝d＝0；②m∈(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)；(2)1∶2∶1.解析：(1)①∵x∈R，f(x)为奇函数，∴f(0)＝d＝0，f(－x)＝－f(x)，即－ax3＋bx2－cx＝－ax3－bx2－cx，∴b＝0，∴f(x)＝ax3＋cx，则f′(x)＝3ax2＋c，又当x＝1时，f(x)有极小值为－4，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝0，,f（1）＝－4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋c＝0，,a＋c＝－4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝－6，))即f(x)＝2x3－6x，经检验f(x)＝2x3－6x满足题意；∴a＝2，c＝－6，b＝d＝0；②设(x0，y0)为曲线y＝f(x)上一点，由①得f′(x0)＝6x02－6，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y＝(6x02－6)(x－x0)＋y0，即y＝(6x02－6)x－4x03，由题意，4x03＋4y－(6x02－6)m＝0有三个不同根，令g(x0)＝4x03－6mx02＋6m＋4，令g′(x0)＝12x02－12mx0＝0，x0＝0或x0＝m(m≠0)，∴g(0)g(m)＜0，即(6m＋4)(4m3－6m3＋6m＋4)＜0，即(m＋1)2(m－2)(3m＋2)＞0，解得m∈(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)．(2)令xB＝x1，xC＝x2，由f′(x)＝3ax2＋2bx＋c及l1∥l2，得3ax12＋2bx1＋c＝3ax22＋2bx2＋c，∴3a(x1＋x2)(x1－x2)＝2b(x2－x1)．由x1≠x2得x1＋x2＝－eq\f(2b,3a)，即x2＝－x1－eq\f(2b,3a)；将y－y1＝f′(x1)(x－x1)与y＝f(x)联立化简得f(x)－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即a(x3－x13)＋b(x2－x12)＋c(x－x1)＝(3ax12＋2bx1＋c)(x－x1)，即(x－x1)[a(x2＋xx1＋x12)＋b(x＋x1)＋c－(3ax12＋2bx1＋c)]＝0，即(x－x1)[(ax2－ax12)＋(axx1－a