第五讲-最大公约数与最小公倍数

第五讲最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。1.求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15。2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。1.求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：，，所以；②短除法求最小公倍数例如：，所以；③公式法：2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求。例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数。2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即。3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：，210就是567的最小公倍数。答：花圃周长是2160厘米。【习题精选】【A组——基础夯实】1.①用短除法求120、48和56的最小公倍数；②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。2.已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和[a，b，c]。3.两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是。4.8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过________分钟这两路车才又同时发车。5.甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是________。6.四个连续自然数的和等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是。7.一个房间长450厘米，宽330厘米。现计划用方砖铺地，需要用边长最大为________厘米的方砖块(整块)，才能正好把房间地面铺满。8.教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成________份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)。在每份礼物中，苹果有________个，桔子有________个，鸭梨有________个。9.三个质数的和是62，这三个质数的积是________。10.一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有________块。【B组——能力提升】1.有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长________米。2.有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150－200之间。共有________棵树苗。3.同学们训练广播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，至少有________人参加了广播操训练。4.已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，这两个数为_____________。5.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是__________。6.一个长方形的周长是40厘米，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积最大是___________，最小是___________。7.幼儿园一个班节约图书，如借35本，平均发给