第四章-向量的内积与二次型

第四章向量的内积与二次型4.1向量的内积4.1.1向量的内积与模定义4.1设有n维向量，，称++…+为与的内积，记为[,],即[,]=++…+=.内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有[,]=T.向量的内积满足下列运算规律（其中，，都为n维向量，为实数）：（1）[,]=[，]；（2）[,]=[,]；（3）[+，]=[,]+[,].定义4.2数称为向量=（）T的模（或长度），记为，即===.当=1时，称为单位向量.当向量0时，是单位向量.==1注意：式给出了求向量的单位向量的方法.关于内积和模的关系，有如下重要的定理：定理4.1对任意n维向量α和β，恒有|[,]|≤.向量的模具有下述性质：非负性：当0时，>0；当=0，=0.齐次性：=.三角不等式：+.4.1.2两个向量的夹角和距离定义4.3当0时，=arccos称为n维向量与的夹角，其中0.这时有 .定义4.4规定n维向量=（）T与=（）T的距离为=根据定义4.4，n维向量的模就是与零向量的距离。根据n维向量的三角不等式，恒有+，于是+4.2正交向量组与正交矩阵4.2.1正交向量组定义4.5如果n维向量与的内积=0，则称与正交若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则该向量组称为正交向量组.满足 ，这样函数称为二次齐次函数.定义4.9含有n个自变量的二次齐次函数称为二次型.当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型.规定，则有2=，于是=++=记A=(),则上面的二次型可以记作：由于，所以是实对称矩阵.容易看出，A的对角元素是中项的系数，而非对角元素是交叉项系数的一半.实二次型与实对称矩阵一一对应(即互相唯一确定).这里，对称矩阵称为二次型的矩阵，也把称为对称矩阵的二次型；矩阵的秩定义为二次型的秩.Tips：设为阶方阵，，则二次型的矩阵.4.4.2二次型的标准型定义4.11二次型经过线性变换后所得到的平方和称为这个二次型的一个标准型.其对应的矩阵是对角矩阵：对于一般的二次型，主要问题是：寻求可逆的线性变换或正交变换，使二次型变成标准型。设可逆的线性变换，则其中定义4.11设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C,使得，则称矩阵A与B合同，称矩阵C为合同变换矩阵.定义表明，若A与B合同，则A与B等价，反之不然。定理4.10对应任意可逆矩阵C，令，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B).二次型经过不同的可逆线性变换后所得到的标准形是不同的，但可以证明其正平方项与负平方项的项数是不变的.标准形中平方项的项数称为二次型的惯性指标；正平方项的项数称为二次型f的正惯性指标，记为p;负平方项的项数称为二次型f的负惯性指标，记为q.显然，R(A)=p+q.定理4.11任给二次型，总有正交变换使变为标准形其中为A的全部特征值.4.4.3正定二次型定义4.12设有实二次型，如果对任何x≠0,都有>0,则称为正定二次型，对称矩阵A称为正定矩阵；如果对任何x≠0,都有<0,则称为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵.如果对任何x,都有≥0,则称为半正定二次型，对称矩阵A称为半正定矩阵.定理4.12实二次型正定的充分必要条件是：它的标准形的n个平方项系数全为正.定理4.13若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆阵P，使得；（4）A的n个特征值全大于零。定理4.14对称矩阵正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正，即对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺