第五节利用导数研究不等式恒成立问题讲义（原卷版）

第五节利用导数研究函数不等式恒成立问题考点梳理至少含有一个参变量的函数不等式恒（能）成立，求参数范围问题，一直以来是高考的热点和难点.该题型灵活多变,综合性强，常作为压轴题显现.其常见解法主要有：分类讨论法（或直接求最值法）、分离参数法和构造函数法(作差法构造或同构法构造）.例题分析方法一、分类讨论法（或直接求最值法）：在函数不等式恒（能）成立问题中，有些是不能分离参数的.有些虽能分离参数，但分离后的函数不存在最值或端点值.这时我们只能放弃分离参数，采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解.例1、若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．点睛：有些恒成立问题，分离参数后的函数不存在最值或端点值.这时我们采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解.例2、（2023·黑龙江大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1点睛：尝试在中直接分类讨论，分理出能否求解？可以发现，此路不通.可见函数与导数综合问题的复杂性和解法的多样性.我们在平时的训练中，一定要放开思路，勇于探索，才能取得较好的效果.例3、（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数，.（1）若，求的最值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.例4、（2023秋·宁夏银川一中高三校考）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.例5、（2020年全国新高考Ⅰ卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．点睛：本题第（2）问的方法一是分类讨论法，利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但这是解决此类问题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求解，是本题的最优解法.方法二、分离参数法：先通过分离参数，将问题转化为：（或）在上恒成立，若函数在区间上有最值（无最值时考虑端点值），则（1）恒成立问题：，；，；（2）恒成立问题：；；（3）能成立问题：，；，.（4）能成立问题：；.例6、已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．例7、（2023深圳宝安第一外国语学校校考模拟）已知函数.（1）若函数在处存在极值，求的值，并求出此时函数在处的切线方程；（2）当时，若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.点睛：本题利用，将另一参数转化为了，这种逆向思维很关键啊!例8、（2023·云南红河·统考二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围．方法三、构造函数法：1、同构法构造：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解（主要是“指数”“对数”同构型函数问题），其常见形式有：（1）积型：的三种构造形式：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.（2）商型：的三种构造形式为：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.2、作差法构造：（1）对于含参数的不等式恒成立问题，构造函数，则只需.（2）对于含参数的不等式恒成立问题，构造函数，则只需.例9、（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．例10、（2023秋·广东中山·高三校考）对任意，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C． D．例11、（2023·河南·统考三模）已知函数，若恒成立，