新教材数学人教A版教案5-1任意角和弧度制5-1-1任意角

新教材人教A版必修第一册5.1.1任意角教案【素养目标】1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．必备知识·探新知基础知识知识点一角的概念角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形．思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．(2)角的三要素是顶点、始边、终边知识点三角的分类思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．知识点四象限角如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．知识点五终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}____，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．基础自测1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]正角有126°，99°共2个．2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为()A．120° B．－120°C．60° D．240°3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是()A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析]－1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________.[解析]因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.5．图中从OA旋转到时所成的角度分别是_________、___________、________.[解析]题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.关键能力·攻重难题型一任意角的概念例1、下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[分析]角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【对点练习】❶如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________.[解析]由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°题型二终边相同的角例2、已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[分析]先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.[解析](1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z)．解得－6eq\f(11,18)≤k<－3eq\f(11,18)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：(2)轴线角：【对点练习】❷若将例题中“角α＝2020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？[解析](1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为k·360°－315°(k∈Z)，令－360°≤k·360°－315°<720°(k∈Z)，解得－eq\f(1,8)≤k<eq\f(23,8)(k∈Z)，所以kk值代入k·360°－315°中，得所求角为－315°，45°和405°.题型三象限角的确定例3、若α是第一象限角，则2α，eq\f(α,2)分别是第几角限角？[分析]由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，则2α，eq\f(α,2)的范围分别为2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)．再通过对整数k分类讨论即可得结果．[解析]因为k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角．又k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)，所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<eq\f(α,2)<n·360°＋45°.所以eq\f(α,2)是第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°<eq\f(α,2)<n·360°＋225°，所以eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一、三象限角．[归纳提升]已知α角所在象限，判角nα，eq\f(α,n)(n∈Z)所在象限的方法(1)若已知角α是第几象限角，判断eq\f(α,2)，eq\f(α,3)等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【对点练习】❸若φ是第二象限角，那么eq\