北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年上学期九年级统练数学试卷（一）

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．|a|＞b C．a＞﹣2 D．b﹣a＜02．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，连接BE，下列四个结论：①AC＝CD；③AB⊥EB；④CD平分∠ADE（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．4．（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．6．（5分）解不等式组：．7．（6分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．8．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝，CB＝，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．9．（6分）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：≈0.618）10．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，延长DE至点F，使EF＝DE，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点（1）求B点的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．12．（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65≤x＜80；80≤x＜85；85≤x＜90；90≤x＜95；95≤x＜100）：b．乙校区的学生成绩数据在90≤x＜95这一组的是：91919294c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.3m87.2根据上述信息，解答问题：（1）m＝；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是校区，成绩更整齐的是校区（填“甲”或“乙”）；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中人被选中．13．（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：x（单位：m）01234…y（单位：m）12…（1）该喷枪的出水口到地面的距离为m；（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为m（精确到1m）．14．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．15．（10分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点（1）如图1，点A、B、D在同一条直线上，直接写出DP与BC的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C、D、P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F，判断线段BF与DF的数量关系16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是；（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，求点P的坐标；（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，N两点，若存在某个点B，直接写出b的取值范围．

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．|a|＞b C．a＞﹣2 D．b﹣a＜0【分析】根据题意可得﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，再根据有理数四则运算法则，逐项判断即可．【解答】解：根据题意可知，﹣3＜a＜﹣2，A、a+b＜3，不符合题意；B、|a|＞b，符合题意；C、﹣3＜a＜﹣2，不符合题意；D、b﹣a＞2，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查数轴，有理数运算，根据题意得到﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，是解题的关键．2．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，连接BE，下列四个结论：①AC＝CD；③AB⊥EB；④CD平分∠ADE（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，∠A＝∠CDE，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故③错误．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，故①正确；∴∠ACD＝∠BCE，∠EBC＝∠BEC，∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD）（180°﹣∠BCE），∴∠A＝∠BEC，故②正确；∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴∠A＝∠CDE，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC，∴∠ADC＝∠CDE，即CD平分∠ADE，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故③错误；故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2＞s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，s甲4＝[（11﹣13）3+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）8+（15﹣13）2]＝2，＝×（12+12+13+14+14）＝13，s乙2＝[（12﹣13）2+（12﹣13）7+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）4]＝0.8，∵5＞0.8，∴s甲8＞s乙2；故答案为：＞．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，标注字母e的卡片写有数字4．【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，∴白卡片数字4摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白4，b只能是黑1，而A为黑1，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，E只能是黑7，此时黑2在白2右边，∴第二行中c为白4，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白3，若第一行中F为白4，E只能是黑3，与b为黑2矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：B；4．【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣1）+2，＝1﹣2+1+2，＝﹣2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．6．（5分）解不等式组：．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤6，所以不等式组的解集是﹣7＜x≤6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．7．（6分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）由求根公式即可求出m的值．【解答】解：（1）Δ＝（3﹣m）2﹣6m×（﹣3）＝m2﹣6m+9+12m＝m2+7m+9＝（m+3）6≥0∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得，∴x1＝5，（m≠4）．∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m的值为﹣1或﹣3．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型．8．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（6分）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：≈0.618）【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设边衬的宽度设置为x厘米，由题意得：＝3.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，延长DE至点F，使EF＝DE，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC＝∠FEC＝90°，根据全等三角形的性质得到CF＝CD，推出四边形ABFC是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A作AH⊥BC于H，根据全等三角形的性质得到AH＝DE，根据三角形的面积公式得到AH＝＝＝4.8．于是得到结论．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEC＝90°，在△DEC与△FEC中，，∴△DEC≌△FEC（SAS），∴CF＝CD，∠DCE＝∠FCE，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠FCE，∴AB∥CF，∵AB＝CD，∴CF＝AB，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AB＝6，BC＝10，∴AB2+AC4＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴四边形ABFC是矩形；（2）过A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝∠DEC＝90°，在△ABH与△DCE中，，∴△ABH≌△DCE（AAS），∴AH＝DE，∵S△ABC＝AB•AC＝，∴AH＝＝＝4.5．∴DE＝AH＝4.8．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得△ABH≌△DCE是解题的关键．11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点（1）求B点的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，m）代入y＝﹣x+2，求出m，得到点A的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标；（2）分别求出直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）、点B（3，3）时k的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝8+2＝3．∴点A的坐标为（﹣5，3）．∴点（﹣1，4）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3．（2）当直线l：y＝kx﹣3过点A（﹣1，3）时，得2＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣6过点B（3，3）时，得6＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠2）与线段AB有公共点．【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键．12．（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65≤x＜80；80≤x＜85；85≤x＜90；90≤x＜95；95≤x＜100）：b．乙校区的学生成绩数据在90≤x＜95这一组的是：91919294c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.3m87.2根据上述信息，解答问题：（1）m＝91；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，成绩更整齐的是甲校区（填“甲”或“乙”）；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中50人被选中．【分析】（1）根据中位数的定义求即可；（2）根据平均数、中位数和方差的意义分析即可；（3）用两个校区竞赛成绩不低于95分用总人数减去乙校区成绩不低于95分的学生是人数即可．【解答】解：（1）中位数是第10个和第11个数的平均数，m＝；故答案为：91；（2）∵甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，∴高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，∵甲校区的方差小于乙校区的方差，∴成绩更整齐的是甲校区；故答案为：乙，甲；（3）∵两个校区竞赛成绩不低于95分共有400×30%＝120（人），乙校区成绩不低于95分的学生有200×，∴甲校区成绩不低于95分的学生有120﹣70＝50（人），故答案为：50．【点评】本题考查频数（率）分布直方图、平均数、中位数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：x（单位：m）01234…y（单位：m）12…（1）该喷枪的出水口到地面的距离为1m；（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时3m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为6m（精确到1m）．【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；（2）直接描点可得图象；（3）求出y与x的关系式，把x＝8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．【解答】解：（1）由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m，故答案为：1；（2）如图，（3）由（2）得，y与x是一次函数关系，设y＝kx+b，把（5，2）代入得，解得，∴y与x的关系式为y＝x+1，当x＝6时，y＝；设水流轨迹w＝a（x﹣6）2+8，把（0，1）代入得，∴w＝﹣（x﹣6）6+3，当w＝0时，x＝8±，∴水流的射程为6+≈4（m）．故答案为：3，6．【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．14．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣3tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为x＝t，∵5＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣1≤x3≤t+2，∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y3的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣8﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝8，∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+5﹣t）2﹣t＝4﹣t＝8﹣2＝2，即y2的最大值为2；②∵点P（x1，y6），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）6﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）3﹣t，y2＝（x2﹣t）5﹣t，∵对于x1，x2，都有y7＜y2，∴y2﹣y6＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x7﹣t）2+t＝（x2﹣t）8﹣（x1﹣t）2＝（x5﹣x1）（x2+x8﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、当时，由①知，x3＞x1，∵t﹣1≤x7≤t+2，x2＝7﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜﹣，由②知，x2+x7＞2t，∵t﹣1≤x4≤t+2，x2＝5﹣t，∴0≤x2+x3≤3，∴2t＜6，∴t＜0，即t＜﹣；Ⅱ、当时，由③知，x2＜x4，∵t﹣1≤x1≤t+5，x2＝1﹣t，∴7﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x5+x1＜2t，∵t﹣3≤x1≤t+2，x3＝1﹣t，∴0≤x4+x1≤3，∴4t＞3，∴t＞，即t＞；即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．15．（10分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点（1）如图1，点A、B、D在同一条直线上，直接写出DP与BC的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C、D、P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F，判断线段BF与DF的数量关系【分析】（1）根据△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P为AE的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP⊥AE；进一步证得AE∥BC，得出DP⊥BC；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，即可证明结论；②延长CP至G，使PG＝DP，连接AG，BG，利用SAS证明△APG≌△APD，△BAG≌△CAD，可得∠BGC＝∠APG，进而可得PF∥BG，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【解答】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P为AE的中点，∴DP⊥AE；又∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC，∴DP⊥BC；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＝45°，AD＝ED，∵P为AE的中点，∴∠ADP＝∠EDP＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，∴∠BAE＝∠ACP；②BF＝DF．证明如下：如图3，延长CP至G，BG，∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝DE，∠DAE＝45°，∵P为AE的中点，∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∴△APG≌△APD（SAS），∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，∴∠GAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠CAD，∵AG＝AD，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（SAS），∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，∴∠BGC＝∠APG，∴PF∥BG，∴＝＝4，∴BF＝DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（