八上几何培优

DECFDECF第1讲全等三角形的性质与判定1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.A．5对B．4对C．3对D．2对AA种逐步推进的方法常用到.BB在△ABC和△DCB中⑵在△ABE和△DCE中〈EF=EF【变式题组】01．下列判断中错误的是()A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等ABECDABECD为真命题，并加以证明.CBDBEAEF (选择“真”或“假”填入空格).ADOEFBC【例2】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：AF＝DE.和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CFAD∴△ABE≌△DCF(SSS)∴∠B＝∠CCEFB在△ABF和△DCE中,〈|【变式题组】ADBEABCOBOACBCCDAO()EEODCB第1题图AAAACFBDFB(E)CDDAACFBDFB(E)CDDAGECFBBBDCFEA⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.AAFOB(E)DC【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC(|AB=DE在△ABF和△DEC中,〈|∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA【变式题组】AB点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于()02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是()A．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°CCDEAPB【变式题组】F、C、D在同一条直线上.⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.AAAEMBDBFNDCCEF【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备AAPEDF2C1BEBECFDCFMN75°45°ACBAAAMN75°45°ACBAAA/CPBODBC题图BDAE02．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜m倾斜角为45°，这间房子的宽度是()22CC03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________01．(海南)已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是()acacb02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是()1CDCD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌2△ODP的根据是()04．(江西)如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是()A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°AA1CEADDNEBCMADCBB205．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是()A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDDABFODCEECAECDDABFODCEECAECD第7题图A第8题图B第9题图EBDAFDBCABCEBD°D.AC∥BEA.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对数为_______.EAAECBPBQDCAAP.CBQDFFEACDB形，并选取其中一对加以证明.CCCEBAB1CA1DD1DAC1CEBAB1CA1DD1DAC1⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；DCElBEABFF对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略)；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；BC你将下列证明过程补充完整)BB⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCECDAEFABCECDAEF延长交BC于点D，则图中全等三角形有()A．4对B．5对C．6对D．7对EEFODADAED1FDFE32BBCOCBBCMMABNC2FAOB，正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③A．DCB.BCC.ABD.AE＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是()A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM;④CD＝DB，其中正确的结论有___________.(填序⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.BBABEDCCCCBEAD10．(沈阳)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝DBEB，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中结论是否仍然成立；为(1)中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，BBBBBEEFACACCFFACACCFDDCBCAADCDCE倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角E形中.AAFEFBCDBC⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，EFBECFEF的数量关系，并加以证明.AEBFEBCDABEMDFABEMDFCDEGAH12．如图，已知△ABC.DAE积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；ABCEBBCAD、DC(或它们的延长线)于E、F.AAEBMCFNDEF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.AABDEFNMC第2讲角平分线的性质与判定1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.的△OBD与△OAD全等即可.证明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2D【变式题组】OB12M34PNADMMCPABNAMPDNBC12＝120°，求∠B的度数【解法指导【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AFD12EB60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.EB在Rt△CFA和Rt△CEA中，〈∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AEAC=AC12CEBCFDCEBCFDA∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【变式题组】FD12CEBADB条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.【例3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD2BEABCDBCCE构造全等三角形.∴△BEF≌△BEC(ASA)2∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝AED32D32CBC12【变式题组】DCEDABEDFAC()113202．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有()个PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是()BAAEBARAPPDBDCEFB第1题图CEAQSCBDCCB第2题图第3题图第4题图第5题图④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是()A．②③B．②④C．②③④D．①②③④则∠AEB的度数为()①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是()A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是()A．点P到△ABC三边的距离相等B．点P在∠ABC的平分线上1122AAEAKDADAPFPEQNBECBCFBCECDBBCM第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有()A．3个B．2个C．1个D．4个ACBQQBCACEDBAFCAEOFBDC则可选择的地址有()A．一处B．二处C．三处D．四处B距离为()DBcmADcmDPxcmx的范围是__________lCAEBABl1Fl2lCDPFl2lC3APBGDCD第1题图第3题图第4题图第5题图__________的距离等于__________1求证：∠G＝(∠ACB－∠B)2AAPEPFDDCG07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DCAPPBDCAQBPC第3讲轴对称及轴对称变换轴对称，这条直线叫对称轴.轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线)、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.【例1】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是()【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.【变式题组】01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是()形为()【例2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点点B’关于x轴对称的点的坐标是()【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为(－1，1)，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’(－1＋2，1)，即B’(1，1).由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是(1，－【变式题组】01．若点P(－2，3)与点Q(a，b)关于x轴对称，则a、b的值分别是()A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－303．已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB＝90°)，沿线段CD折叠，使点B落在B处，若∠ACB＝70°，则∠ACD＝()11【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠BCD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝70°＋x.又111∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋(70°＋x)＝90°，故x＝10°.故选D.【变式题组】等于()ABCABEBAC点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.03．⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.⑵实践与运用：【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4长是___________cm．【例5】如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所DEF示．【变式题组】C成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙)【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问答．答．∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，【变式题组】案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是()01．(黄冈)如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是()．B三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()BRC∥AD，如图2所示，则∠C＝()CD04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是()A．M(1，－3)，N(－1，－3)B．M(－1，－3)，N(－1，3)C．M(－1，－3)，N(1，－3)D．M(－1，3)，N(1，－3)05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是(－3，5)，则点P关于y轴对称的对称点的坐标是()06．已知M(1－a，2a＋2)关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a＞1D．a＞－107．如图，镜子中号码的实际号码是___________．08．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.09．已知点A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝___________.C45°，求∠BAC和∠ACB的度数．AN＝MC．出的两个图案不能全等)1211212111212212132324 1111112222221111112222221122对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．于AB边的对称点为C’，若S＝1，求S．△ABC△A’B’C’在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P处有一粒跳棋1子，P距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P点以A为对称中心跳11223342233441Ppxp_时，△PAB的周长最短；MNxyMmNn)，使四边形ABMNm_____，n＝___________(不必写解答过程)；若不存在，请说明理由．31231221两个底角相等(即等边对等角)；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即等腰三角形三线合一)2．等腰三角形的判定手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线(或高)＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形(1)(2)(3)(4)【例1】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为【解法指导】若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的时，∠ACD＝400，∴∠A＝500如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500DACBACB2∠BADADBCBC图2【变式题组】三角形的底边长为()AB.11C.7或11D．7或1002.(黄冈)在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．B3B3xA多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．解：设∠A＝x,AD∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，DBDxBDBC∠C＝∠BDC＝2x，B∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°BC【变式题组】A的点B一共有()个明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∠B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．yyB1OB2AxB5yB4OB6yyBOxAB87【变式题组】有()02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是(0，V3)，点C在坐标平面内．若以ABC三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．DAEDPBCG折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为()D合)，点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有 ()BMDMDCAECAE2【变式题组】EACBCOAOBOC等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；1212腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE)，四边形DBCE是等对边四边形；⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．EBCEBC2G∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，可证△BDF≌△CEG，2∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，CF＝CE，∴BD＝CE，【变式题组】01．如图，在∆ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.002．已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为()AC于点E，则∆BEC的周长为()【变式题组】01．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为()数是()ABCD．1080的是()A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF列结论：①∆BDF和∆CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③∆ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有()A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是()ABC长为x，则x的取值范围是____________.写下了四个等式：AAECDB同一条直线上，连结DC．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；DABECADQBCP点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；G，下列结论：①GA＝GP;②ᵄ∆ᵄᵃᵃ:ᵄ∆ᵄᵃᵃ=ᵃᵃ:ᵃᵃ;③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有()A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如图，点A是5×5网格图形中的一个网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的的个数是()03．如图，在∆ABC中，AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.FABCE08.有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的ADABG的面积分别为S和S，如果存在点P，能使得S=S,求∠C的取值范围.ABCABGABCABGCFEPAHB1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．赏析(1)求证：△ACE≌△DCB;(3)判断△CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．∴∠ACE＝∠DCBE(AC=DC|F∴在△ACE