用初等变换化二次型为标准型

用时可以删除“高等代数选讲”课程论文用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本1廖丹用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形XAXndy2,其中d为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法iiii1举求出非异阵P.定义1.1以T表示将单位矩阵的j行(列)的k倍加到i行(列),所得到的第三种初等阵.定理1.2设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵T,i1的乘积.且PAd1a其中a是n1维行向量,A是n1阶阵,则必有PAPd0.0A110A1证明：由于P是T的乘积，且i1,根据矩阵的乘法规则，用P右乘PA时,PA的第一列元素不变,从而PAPd1即A是实对称的.0A1,0|(000-111)|01)||(20200((d(|||||||||||||| ( (dr0)*)),||||||)0))T,i>j,则当把A变换成上三角阵时,(A,E)的E就同时化为P,,且使d1d)| (0)例1求非异阵P,使P,AP为对角阵,其中A(|||(0|(02-2|0-22(1|0-22-1-1011-2210020000)(1-1210(1-12100)-0)01)||||(|||0002000)0)01)0)0)0)01)0)1)|0) |1)||2|(0_2例2将实二次型2xx_6xx+2xx化为平方和.122313(0 |||10_3_3有非零数,然后再用定理即可.10_31_10_31_30 |||1_211_210_30|(2 (_2|||_3000)(11(21_21_3000_21_1_22_2111011 21|——r2)|0|(|1||| ( (1_1 20_1 2120_2_261_1 23112_10)0)1)0)||3|||)6)|||则2xx_6xx+2xx=2y2_1y2+6y2.1223131223个基础解系.S12Sn*r,n*rn12Sn*r,n*(n-r)n*r 素为1的列满秩矩阵，E，表示秩为n-r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵n*(n-r)(A)(A)BP0)|，其中Q=E，，根(n-1))n根nn根rn根(n-r)省去.iiiiiii (B)(BQ)设所求出的特征向量aaaaaa,它是一组线性无关的向量,以aij所施行的相同的初等变换求出.于是得到求正交矩阵的初等变换法||)||对B，B于是得到求正交矩阵的初等变换法||)||对B，B施行列初等变换,对B施行行1以列初等变换把a所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把a所在列的其他元素化111aa,那么矩阵BQ即为所求的矩阵P,22nn1ilssks例1求正交矩阵P使P，AP为对角阵,其中A(||-|-||-|0| (0-2-2010-2)-2-200||||||1)|||||) (2 (2|||||) (2 (2|(12|0|||0|||-1|-2-20100)||(2001-10)210 2)|||||||||)0)00-1 (|||||||||001-10)0|2|1|1|2)-32)1 (二重)2(1||1|(B(入))|1当入1=2时,有|(P(入))|=||||-1|00001-10)00110011-2量的向量)||||