数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式一、公式法种类1an1anf(n)解法：把原递推公式转变为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1已知数列{an}知足a2a32n，a12，求数列{an}的通项公式。n1n解：an12an32nn1an1an3an1an3an两边除以2，得2n12n，则2n1n，故数列{n}是2222以a121为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an1(n1)3，2122(3n1)2n。2n2因此数列{an}的通项公式为an22评注：此题解题的重点是把递推关系式an12an32n转变为an1an3，说明数列2n12n2an是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an1(n3{n}2n1)，从而求出数列22{an}的通项公式。练习题：1.已知数列{an}知足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。2.已知数列an知足a11an1，求an，an1n2n2例2已知数列{an}知足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此数列{an}的通项公式为ann2。评注：此题解题的重点是把递推关系式an1an2n1转变为an1an2n1，从而求出(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。二、累乘法种类2an1f(n)an解法：把原递推公式转变为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例3已知数列{an}知足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。解：由于an12(n1)5nan，a13，因此an0，则an12(n1)5n，故anaanan1La3a2ananana2a1112[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)因此数列{an}的通项公式为an352n!.评注：此题解题的重点是把递推关系an12(n1)5nan转变为an12(n1)5n，从而求an出anan1La3a2a1，即得数列{an}的通项公式。an1an2a2a1例4已知数列{an}知足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。解：由于ana12a23a3L(n1)an1(n2)①因此an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.则an1(n1)an(n2)a1故n1(n2)an因此anan1a3a2[n(n1)L43]a2n!a2.anan1an2La22由ana12a23a3L(n1)an1(n2)，取n2得a2a12a2，则a2a1，又知a11，则a21，代入③得an1345Lnn!。2因此，{an}的通项公式为ann!.2评注：此题解题的重点是把递推关系式an1(n1)an(n2)转变为an1n1(n2)，an从而求出anan1La3a2，从而可适当n2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的an1an2a2通项公式。练习题：1.已知数列an2nn，求an知足a1，an13n1a2.已知3n1，求ana13，an13n2an(n1)三、待定系数法种类3an1panq（此中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。解法（待定系数法）：把原递推公式转变为：an1tp(ant)，此中tq，再1p利用换元法转变为等比数列求解。例

5

已知数列

{an}

知足

an1

2an

35n，a1

6，求数列

an

的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x,则x1,代入④式得an15n12(an5n)⑤由a116510及⑤式得an5n0，则an15n1n}是以5an5n2，则数列{an5a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n。评注：此题解题的重点是把递推关系式an12an35n转变为an15n12(an5n)，从而可知数列{an5n}是等比数列，从而求出数列{an5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。练习题1已知数列{an}知足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。练习题2已知数列{an}知足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。过关练习：1已知数列an中，a11，an12an3，求an2在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________四、数学概括法例6已知数列{a}知足an1an8(n1)，a18，求数列{a}的通项公式。n(2n1)2(2n3)2n9解：由an1an8(n1)及a18(2n1)2(2n3)2，得9a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜想an(2n1)21，往下用数学概括法证明这个结论。(2n1)2（1）当n1时，a1(211)218，因此等式建立。(211)29（2）假定当nk时等式建立，即ak(2k1)21，则当nk1时，(2k1)2ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，当nk1时等式也建立。依据（1），（2）可知，等式对任何nN*都建立。评注：此题解题的重点是经过首项和递推关系式先求出数列的前n项，从而猜出数列的通项公式，最后再用数学概括法加以证明。其余种类种类4an1panqn（此中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或aparqn,此中p，q,r均为常数）。n1n解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1an1p?an1引入协助数列，得：n1qqnqqbn（此中bnann），得：bn1pbn1再待定系数法解决。qqq课后练习题已知数列an中，a15,an11an(1)n1，求an。632种类5递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))S1(n1)解法：这类种类一般利用anSn1(n与Sn2)anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。课后练习题已知数列an前n项和Sn4an1.2n2（1）求