余弦定理高一数学系列

人教A版2019高中数学必修第二册第6章平面向量及其应用?CBcbA﹚a6.4.2

余弦定理创设情境

武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？ABC500m120°实际问题转化为数学问题在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB.300mbac=？从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c.设，

那么

所以

①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：③向量式化成几何式：cba探究1：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？请同学们试着改变已知的边和角，不改变边角位置关系，看又能得出什么结果？1、余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即已知两边和夹角，求第三边(SAS型)对余弦定理，还有其他证明方法吗?1、余弦定理bAacCB

以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法几何法在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：

当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D

余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.2、余弦定理的推论余弦定理的应用已知三角形的三边，求三角形的三个内角——考什么已知三角形的两边及夹角，求其他边和角AaBCbcAcbAbc><=由此可以猜想：余弦定理可以判断三角形的类型.探究：当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？推论：当C为锐角时，c2

a2+b2当C为钝角时，c2

a2+b2当C为直角时，c2

a2+b22、余弦定理的推论典例分析题型1已知三边解三角形解：由余弦定理得例1在△ABC中，a=，b=2，c=，解这个三角形.1典例分析题型2已知两边及其夹角解三角形例2

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，A＝30°，解这个三角形.解：由余弦定理，得由余弦定理的推论，得所以C=180°－(A+B)=180°－(30°+60°)=90°．a²=b²+c²－2bccosA

=3²+()²－2×3××cos30°=3所以

a=所以B=60°．典例分析等腰三角形题型3判断三角形形状C课堂检测B3、解三角形的定义

一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．探究：在三角形的三条边和三个角中，已知哪些元素，可以求出哪些元素？1、已知两边和夹角求第三边。2、已知三边求三角。3、判断三角形的形状。典例分析例1

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，A＝30°，解这个三角形.解：由余弦定理，得由余弦定理的推论，得所以C=180°－(A+B)=180°－(30°+60°)=90°．a²=b²+c²－2b