三角形全等的证明教学设计

《三角形全等的证明》教学设计教学目标：1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2、知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等；3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点:全等三角形的性质．教学难点:找全等三角形的对应边、对应角教学过程：一、提出问题，创设情境提问学生：你认为数学是一门什么样的学科？教师阐述观点数学是一门实用性很强的学科，举例说明。通过这一章的学习（板书课题）让学生可以利用相关知识去解决生活中的一些实际问题.二、讲授新课1、让同学们来找一找生活中一模一样的图形，教师给与肯定并且也展示一些全等形的图片，引出全等形的特征---形状相同，大小相等。通过图片展示你是如何知道这些图形是全等形的呢？可以通过让它们重合的办法说明，从而得出能够完全重合的两个图形叫做全等形。2、给出三个三角形（有两个是全等形），让孩子们来展示它们是不是全等三角形，引导学生说出全等三角形的概念。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3、全等三角形是不是随便什么姿势摆在一起都能重合呢?(拿出那两个全等的三角形动手操作)答案是否定的，如果想把两个全等三角形重合，就一定要遵循一个重要的规则-----对应（板书）。大边对大边，小边对小边，大角对大角，小角对小角。（再次展示图片）互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边是对应边，互相重合的角叫对应角。4、重要的概念都有特殊的符合，全等也不例外。形状Shape相同,大小相等=。一个懒洋洋睡倒的“S”加“=”就组成了“≌”，读作“全等于”。有了全等符号，我们就可以用它来表示两个全等三角形的关系了。提出问题：两个三角形全等，对应边和对应角之间有什么关系呢？让学生通过比较得出全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。三、课堂练习1.三角形移动位置后形成了一个新的三角形。你能找出这些全等的三角形并把它们表示出来吗？2.如果AB=4cm,BD=3cm，AD=5cm，那么BC的长是（

）

A.3cm

B.5cm

C.4cm

D.无法确定3.图中两个三角形全等，其中B和D是对应顶点，AB和CD是对应边，请按对应顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子；写出这两个全等三角形的对应边和对应角

三、课堂小结1.能够完全重合的两个图形叫做

。其中：互相重合的顶点叫做

。互相重合的边叫做

。互相重合的角叫做

。

2.

叫全等三角形。3.“全等”用符号“

”来表示，读作“

”4.全等三角形的

相等

全等三角形的

相等5.书写全等式时要求是把

字母放在对应的位置上四、作业自制两个全等三角形拼一拼1.一条边重合2.一个角重合3.一个点重合

《全等三角形的判定》基于数学核心素养的教学设计一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力，这十个核心概念总体上提出对学生在数学学习中的素养基本要求，同时是学生数学素养中的重要标志，更是学生在进行数学学习过程中关键、必要的基本素养。所谓数学核心素养，简单来说就是满足学生终身发展和社会发展所必备的、关键的数学素养,其中有数学化、运算、推理、意识、思想方法以及情感态度价值观[1]。总之，初中数学教学要树立以发展学生数学核心素养作为教学导向的意识，为学生构建能够培养核心素养的数学教学情境。在初中数学教学中，培养学生数学核心素养是当前初中教学探讨的热点，笔者认为，培养学生数学核心素养的关键在于要将其严格落实在实际教学中，同时还要按照核心素养的相关要求进行数学课程的设计下面以“全等三角形的判定”设计为例,分享笔者的实践与思考。教材中三角形全等的判定中的几种判定方法，是作为基本事实提出来的。常规的教材处理是分４课时完成：第１课时是“ＳＳＳ”，第２课时是ＳＡＳ”，第３课时是“ＡＳＡ”、“ＡＡＳ”，第４课时是“ＨＬ”。但是，笔者认为最关键的是让学生理解为什么需要三个条件，如何去选择条件，这样才能让学生知其所以然，同时有利于培养学生的数学思维和实践能力，所以在教学设计中遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计－系列实践活动，引导学生动手操作，探索交流，发现结论。根据初中几何教学要求以及现阶段学生实际，在真正理解了全等三角形的概念的基础上，把三角形全等的五个判定集结在一节数学课中进行教学讲解，引导学生根据教师所讲知识进行相应的总结，以此来完善学生对本节课知识的全面认识。数学课程中常见的命题构成了中学数学知结构的核心，其主要形式是公式、定理、原理法则[2]。在“几何领域”这部分的数学教学中，一方面教师要引导学生能够通过探究简单的图像或图形（三角形）进行相应的观察和思考，另一方面教师要重视对学生三角形全等证明为主要的思维逻辑的训练教学，以此来逐步培养学生对推理方面学习的数学核心素养。本节课的教学策略要有利于暴露数学思维的过程，构建三角形全等的判定整体知识。数学规则课的教学过程包括数学规则的习得，转化和应用等三个阶段[3]。数学规则课的教学操作模式：问题情境--建构规则---变式练习---获得规则---运用规则--反馈评价[4]。基于以上认识，笔者设计的规则课型的“非线性”[5]教学法：问题情境--建构规则---疑点突破---获得规则---运用规则--反馈评价。二、

对《三角形全等的判定》新授课的创新设计

在设计理念上，秉持“数学教育要以理性思维育人”的教育思想［6］，崇尚“数学教学要为思维而教”的教学观［7］，将教学过程分为以下四个环节：

（一）

创设情境，提出问题．

创设有意义的数学问题情境，不仅仅能够激发学生对所学知识的积极性，同时还能够引导学生积极参与到教学讨论中，最后解决数学问题。

问题1：如下图所示，小明加衣柜上有需要镶嵌两块全等三角形作为装饰，但其中有一块玻璃打碎成如下图的三快，若到玻璃店配以快完全一样的玻璃，小明该怎么做？

问题2：假如小明家衣柜上只有一块三角形的装饰玻璃，小明不小心将这个玻璃打碎成三块玻璃，要想到玻璃店去配一块相同的玻璃，那么最简单的方法是小明应该带那块玻璃去玻璃店呢？即在两个三角形中，三对角，三对边满足怎样的条件才能保证两个三角形全等呢？（二）探究新知，构建规则

对于思维行为表现主要在于学生深入思考问题，在对比的前提下做出相应的决策，集合教学过程中的比较、评价、证明教学行为，这是指向数学思维的课堂的典型特征。

教师：在情境2中，要检验三角形是否重合如果用概念难以做到，因此考虑通过考察三角形的边和角去判定三角形是否全等，而且希望判定的条件能够尽量少一些。我们知道，三角形有３条边、３个角，内角的和１８０°，任何两边之和大于第３边．若我们以边和角的元素个数由少到多，请同学们试试可能有哪些组合？

问题3：考虑一个元素，情况怎样？

①单纯考虑边

生3：显然，已知一条线段并以这一条线段为边可以作无数个三角形。

②单纯考虑角

生4：我发现已知一个角，能作无数个三角形。我们手上的三角板，都有一个直角，但不一定都能重合。

生4：已知一个角或线段，可以画出无数个三角形，同桌之间画的三角形也不能重合。

教学意图：引导学生进行动手操作和观察，学会从满足一个条件对应相等时能否保证两个三角形全等的两种情况。

问题4：考虑二个元素，情况怎样？

①单纯考虑边

生5：已知两条线段并以这两条线段为边也能作无数个三角形。

师：谁能说明为什么有无数个三角形吗？生6：已知线段

ＡＢ＝2ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，求作△ＡＢＣ，线段ＡＣ的长的范围是1ｃｍ＜ＡＣ＜5ｃｍ．所以线段ＡＣ的值由无数个，显然可以构造无数个三角形．

②单纯考虑角

生7：我发现已知两个角，能作无数个三角形．我们手上的三角板，有一个是600，一个是300，但它们不一定重合。

③同时考虑边和角

生8：我发现已知一个角和一条边对应相等，如下图，固定AB和，点C可以在射线任意取，能作无数个三角形。同桌之间画的三角形也不能重合。

教学意图：各个小组的同学根据教师制定教学内容进行探究，最终得出满足两个条件对应相等的两个三角形不一定是全等的。

问题5：考虑三个元素，情况怎样？

①单纯考虑边

师：已知线段ａ，ｂ，ｃ，作△ＡＢＣ，使得ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ＢＣ＝ａ．请每位同学拿出学案，完成指定任务1。

师：作三角形的关键点在于需要确定什么？

②单纯考虑角

③同时考虑边和角

师:请看刚才所老师作的△ＡＢＣ，若已知AB,AC，那么请问同学们已知的一个角有哪些类型呢？

不少学生画不出任务3的图形。若从核心素养这一角度来看待这部分的数学教学，这就需要教师为学生设计符合教学实际的体验活动，例如脚手架，笔者对上述的任务3进行相应的补充，并开展以下教学活动：其一，为学生准备一套三节折尺（一个小组一套），然后让学生自己去“做”。要求学生制作折尺中在第一节与第二节中不会变化的一个角，之后让第三节折尺围绕连接点进行转动，在转动是学生发现其与第三条边可能会出现两个交点，这也就说明在“边边角”相等时，可能会出现两个形状不同的三角形，显而易见，这两个三角形也就不能是全等三角形。其二，让学生离开做的环节进行相应的思考，这时候学生的思维经过加工就形成了对刚才学习活动后的表象，笔者要求学生在进行小组交流过程中，要明确与小组中同学证明“边边角”无法证明三角形全等的过程，在证明的过程中离不开对数学语言的应用，必要情况下还需要结合相应的动画，也可以是通过在草稿纸上画相应的图，有多种表现方式也就说明学生对本节课的知识理解角度越多，这也就在一定程度上加深学生对本节课所学知识的认识。问题6：考虑四个元素，情况怎样？此时，笔者向学生提出，如果有四对元素对应相等，同学们怎么考虑这个问题？

（三）疑点突破，拓展提升问题7：通过对△ABC进行观察和分析，那么最少需要几个元素就能够确定该三角形，并构成全等条件呢？

《全等三角形的判定》教学设计及课后反思写在前面：有人说世界上最幸福的生活方式莫过于和一群志同道合的人奔跑在理想的路上。低头，有坚定的脚步；抬头，有清晰的远方；回头，有满满的收获。七月的阳光热情似火，因为“自学・议论・引导”教学法，我们从兰州来到如皋，聆听了全国著名中学数学特级教师李庾南老师、如皋市教师发展中心印冬建老师、南通市数学会袁亚良老师等众多名师的专题讲座，受益匪浅。在2023年7月7日下午的讲座结束时突然接到一个任务——明天各组选一位老师结合前几天聆听专题讲座的情况上一节模拟课，要求以人教版课本为主，从《全等三角形的判定》、《勾股定理的逆定理》、《一次函数的习题课》三个课题中选一个讲解，我被选中作为我们组的代表上课，被选中时我整个人都是懵的，一方面是我们以前用的都是北师大版课本，对于人教版课本的编排不是很熟悉，二是手头没有任何资料，巧妇难为无米之炊。不过，好在有小组内来自兰州市第十九中学的张洁、于晓璐、东方中学的张亚鹏、兰州市第八十三中学的王凤琴、兰州市第十六中学的赵敏、兰州市第十一中学的沈泽军、兰州市第四十六中学的郑丽娜、兰州市第三十六中学的漆建平、兰州天庆实验中学的陈红、兰州市第三十五中学的张莹等十多位老师聚在一起帮我出谋划策，讨论在没有课本、没有电脑甚至什么都没有的情况下该怎么设计这一节课，怎么完美的呈现这一节课，从下午六点一直讨论到了晚上十二点，真的很感动，由衷的感谢这些老师给予的帮助与支持！

01教材分析​

几何，是研究空间结构及性质的一门学科，最初的几何学是平面几何，而平面几何作为初中研究的对象，又以三角形为基础，因此研究三角形的有关知识就显得尤为重要。而全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的一个基础，它在人教版中处于第12章，上承初一的点，线的研究，下接四边形，圆等平面几何图形的教学，它是一种证明等线、等角的重要工具，同时全等三角形又解决了实际生活中的很多问题。因此，这一章的内容在整个平面几何中举足轻重。《全等三角形的判定》一节包含了一般三角形的4个判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS）和直角三角形特有的判定方法（HL）,分四个课时，本次针对前三课时的内容学材再建构教学。02教学目标1.经历探索三角形全等的探索活动，初步了解三角形全等的条件。

2.经历画图、观察、比较、交流、归纳、概括的认知过程，发展研究问题的数学思维和方法，培养学生良好的思维品质。03教学重难点教学重点：

探究三角形全等所需条件的过程，利用SSS,SAS,ASA,AAS等判定两个三角形全等。教学难点：

三角形全等判定条件的探索过程。04教学过程一、复习引入

活动内容：复习全等三角形的定义，分析定义的双重属性，然后提出问题：画一个三角形并且使每位同学画出来的三角形全等需要什么条件？六个条件能不能少一点？六个元素中几个对应相等就能判定它们全等？

活动目的：通过复习，使学生回忆三角形全等的定义和性质，并通过问题的提出引导学生思考:如何确定一个三角形？二、合作探究1.活动内容：一个条件（一边，一角）只给定一条边时：​只给定一个角时：活动目的：引导学生体会三角形的三个顶点未被确定，从而三角形不一定全等.结论：只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形全等。2.活动内容：两个条件（两边，一边和一角，两角）分别按照下面的条件画三角形.（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；（2）三角形的两个内角分别为30°和50°；（3）三角形的两条边分别为4cm，6cm.​活动目的：让学生实际去画一画，感受反例的作用,进一步体会三角形的三个顶点未被确定，从而三角形不一定全等.结论：只给出两个条件时，也不能保证所画出来的三角形全等.3.三个条件问题：

三个条件，如何分类？（三边，三角,两边一角，一边两角）设计意图：渗透分类的思想与方法.

活动内容：给出三条边的长度画三角形（注意三角形的构成条件）.动手操作画图:三角形的三条边分别为4cm，5cm，6cm。

小组同学互相比较、讨论、观察得出结论.结论：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.​​

活动目的：引导学生体会三角形的三个顶点一旦被确定，三角形就被唯一确定，这样无论画多少个三角形，它们的形状和大小都一样，那么三角形一定全等，也为后面学生自主探索提供一个方向.三、自主探索活动内容：利用类比思想思考还可以给出什么条件能够保证所画出来的三角形全等.活动目的：根据已知三条边长探索三角形全等的活动经验，思考还可以根据哪些条件可以得到两个三角形全等，让学生自主总结出SAS,ASA,AAS等判定两个三角形全等。四、归纳小结

引导学生回顾本节课探索三角形全等的过程并树立本节课学习过程中用到的数学思想与数学方法。五、课后作业

分层布置作业A：画出本节课的思维导图；B：完成课后随堂练习题；C：写一篇关于三角形全等判定的小文章。05专家点评

讲完这节课以后，南通市学科带头人、南通市市直学校教育管理中心初中数学教研员吴小兵老师和兰州市数学教研员龚成军老师对于这节课的讲授情况做了细致入微的点评。

两位老师指出来