工程制图(换面法)

第四章换面法第一节概述第二节投影变换工程制图(换面法)第一节概述XOa

bb

a实长

特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题XOa(b)ab实长工程制图(换面法)XObaa

c实形b

c

XOb

aa

c

类似形b

c

特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题正平面正垂面工程制图(换面法)特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题e

f

距离efa(b)b

a

d

c(d)c

距离m

c

a

b

abcmzz点到直线的距离工程制图(换面法)一、基本概念

改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决——投影变换。二、投影变换的方法辅助投影面法（换面法）2.旋转法工程制图(换面法)工程制图(换面法)第二节变换投影面XVHABbab

Ca

c

一、概念：换面法：空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于解题。实形Vc1

b1

a1

VHXOa

b

c

ba(c)bcaV1O1X1工程制图(换面法)XVHABbab

Ca

c

实形Vc1

b1

a1

建立新投影面的条件：（1）新投影面要⊥原来一个投影面。（2）新投影面要处于最有利解题位置。二、基本条件讲解：点

线

面工程制图(换面法)a1

HV1X1O1ax1V1三、基本原理1.点的一次变换：

变换规律：

1).点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距；

2).点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。a

aAaxax1O1X1VOXHa

XOVHaaxa1

VHHV1工程制图(换面法)工程制图(换面法)工程制图(换面法)VHXH1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1XVHa

aa1a

Aa工程制图(换面法)

XVHaa

ax更换H面

求新投影的作图方法

VHXP1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa

X1P1H

a1axax1ax1更换V面●a’1作图规律：

..工程制图(换面法)⒉点的两次变换先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—再把H面换成平面H2，H2

V1，得到新投影体系:X2—V1H2

新投影体系的建立按次序更换AaVHa

axXX1V1a1ax1

H2X2

ax2a2

工程制图(换面法)VXHa2a

aa1

XVHX1HV1

点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1

a

Aa工程制图(换面法)工程制图(换面法)1、把一般位置直线变换成投影面的平行线XVHOV1X1O1a1

b1

abb

a

ABXOVHX1HV1O1abb

a

b1

a1

实长四、基本作图

工程制图(换面法)2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线XVHOV1X1O1a1

(b1

)aa

bb

b

XOVHa

b

abX1HV1O1a1

(b1

)工程制图(换面法)3.把一般位置直线变换成投影面垂直线XHa

Aab

bBVV1X1H1a2b2a1

b1

工程制图(换面法)a’1●b’1●VHa

aXBb

bA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a

b

abXVHX1H1V1V1H2X2作图：X1V1a’1b’1X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？

a2b2ax2a2b2

.与a’1b’1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；工程制图(换面法)把一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

工程制图(换面法)工程制图(换面法)工程制图(换面法)

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。V1X1c’1b’1a’1

d’1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面工程制图(换面法)把一般位置平面变换成投影面的垂直面XHVOaa

b

c

cbXVHV1X1Oacba

a1

dd

d1(c1)b

b1

c

BCDA

水平线d

da1

b1

d1(c1)

X1V1HO1工程制图(换面法)a

c

XVHb

bac把一般位置平面变换成投影面的垂直面

VHXcba

b

CAc

Badd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d1工程制图(换面法)工程制图(换面法)XVHABbab

Ca

c

实形Vc1

b1

a1

5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面VHXOa

b

c

ba(c)bcaV1O1X1工程制图(换面法)把投影面的垂直面变换成投影面的平行面aa

c

b

cbXOVHa1

b1

实形X1HV1O1c1

XVHABbab

Ca

c

Vc1

b1

a1

工程制图(换面法)6.把一般位置平面变换成投影面的平行面X2O2V1H2a2b2c2实形XHVOaa

b

c

cbd

da1

b1

d1(c1)

X1HO1工程制图(换面法)XOVHk1

b1

a1

aa

b

bkk

O1V1HX1X2H2V1O2k2a2(b2)(t2)t1

tt

距离H2a2(b2)k2KBAT(t2)距离求K点到直线AB之距及两面投影。例题1：工程制图(换面法)

H2DBACd2a2c2(b2)

求具有公共边BC的△ABC和△BCD的夹角

。

a

d

c

b

XVHOcdbaO1O2X1V1HV1H2X2a2d2c2(b2)a2

d2

c2

b2

例题2：工程制图(换面法)CDSTBb2t2a2C2(s2)(d2)H2VHXOb

d

a

c

cdabV1X1HO1b1

a1

c1

d1

k1

g1

kgO2X2H2V1a2b2g

k

c2(k2)(d2)g2距离例3：

求交叉两直线AB和CD间的距离。工程制图(换面法)X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1

a1

d1

c1

11

21

21b

abdca

XVHd

c

2

1

1222例题4：

求两直线AB与CD的公垂线。

H2工程制图(换面法)a

aXb

bcdc

d

题5：如何求两直线AB与CD间的距离？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

V提示工程制图(换面法)b

a

abcd●c

例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a’1≡b’1≡m’1●n’1●c’1●d’1●n空间及投影分析：VHXHV1X1圆半径=MN●n

●m

当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m’1n’1=MN,且m’1n’1⊥c’1d’1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。..工程制图(换面法)例7：已知直线AB与

CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1X1VH1c1e1d1ba20mm工程制图(换面法)空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例8:过C点作直线CD与AB相交成60º角。d

X1HV1X1V1H2ab

a

c

b

XVHc作图：c2●●●c1●a’1

b’1●a2●d2●d●b2●

几个解？两个解！

已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..工程制图(换面法)例题9：已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。a'b'XVHcabX1HV1b1'c1'a1'c'ee1´工程制图(换面法)例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

工程制图(换面法)a

aXb

bcdc

d

题10：已知两直线AB//CD且相间距离为10XH2V1a

aXVHb

ba2(b2)XHV1a1

b1

c1

d1

cc2((d2)R=10工程制图(换面法)k1X1H1Vb1a1c1d1s1a

c

b

bacdd

ss'例题11：

求点S到平面ABC的距离工程制图(换面法)a

c

b

bacenk

e

nd

dX1VH1b1a1c1d1k1ke1例12：已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e

。工程制图(换面法)例13：求点到平面ABC的距离

XOaa

c

b

d

bdcX1b1

d1

c1

a1

k1

kk

工程制图(换面法)工程制图(换面法)工程制图(换面法)工程制图(换面法)

小结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法——换面法。一、换面法就